一道与三角形有关的最值

aishuxue

已知三角形$ABC$的面积为$\sqrt2+1$, 且满足$\dfrac{4}{\tan A}+\dfrac{3}{\tan B}=1$, 求边$AC$的最小值.

乌贼

\[ 2x(y+z)=\sqrt{2}+1\\\dfrac{4}{\dfrac{x}{y}}+\dfrac{3}{\dfrac{x}{z}}=1\riff z=\dfrac{x-4y}{3}\riff \\x^2-xy=\dfrac{3(\sqrt{2}+1)}{2} \]令\[ AC^2=x^2+y^2=R^2 \riff y=\sqrt{R^2-x^2}\]代入上式有\[ AC^2=R^2=2x^2+\dfrac{9(\sqrt{2}+1)^2}{4x^2}-3(\sqrt{2}+1)\geqslant 3(\sqrt{2}+1) \times \sqrt{2}-3(\sqrt{2}+1)=3\]当$ x^2=\dfrac{3(\sqrt{2}+1)}{2\sqrt{2}} $时取得

aishuxue

回复 2# 乌贼


    谢谢，不过垂足是否落在边AB上？

敬畏数学

套路题。正常做。$ 4\frac{\sin B}{\cos B}+3\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\sin A\sin B}{\cos A\cos B}$，去分母得，$4\sin B\cos A+3\sin A\cos B=\sin A\sin B$，$ 3\sin C=\sin B(\sin A-\cos A)$,正弦定理得，$3c=b(\sin A-\cos A)$，代入：$ s=\frac{1}{2}bc\sin A=\sqrt{2}+1 $，$ b^2=\frac{6\sqrt{2}+6}{(\sin A)^2-\sin A\cos A} $，$ b^2\leqslant 12 $。等号。。。。

敬畏数学

几何法确实开眼界。高手小小失误，第一行是1/2。