一道最大值的最小值问题与一道整数解问题

力工

我来码，顺便加道题。
题目1：已知函数$f(x)=x^3 +ax+b$定义域为$[−1,2]$,记$\abs{f(x)}$的最大值为$M$，
则$M$的最小值为______.
题目2：已知函数$f(x)=e^x(x-1)$，若关于$x$的方程$\abs{f(x)-a}+\abs{f(x)-a-1}=1$
有且仅有两个不同的整数解，则实数$a$的取值范围为______.

isee

题目2的绝对值是多余的，就是$a<f(x)<a+1$，至于$a$的范围，还没想

走走看看

很好！等着欣赏您的节目。

走走看看

回复 2# isee

我觉得出题人的本意也就是考察学生是否能正确理解|f(x)-a|+|f(x)-a-1|=1。题目改成别的说法，恐怕就难达到考察目的了。

力工

回复 2# isee
强！一眼看穿了。这样子就方便了。

kuing

题目2的绝对值是多余的，就是$a<f(x)<a+1$，至于$a$的范围，还没想
isee 发表于 2019-4-22 21:51

漏了等号啦……都第二天了，怎么还没想……
其实不是很难，就是表达起来比较麻烦，所以的确很适合作为填空题……

变成 `a\leqslant f(x)\leqslant a+1` 后，设 $A=\{f(k)\mid k\inZ\}$，则原方程有且仅有两个整数解 `\iff A\cap[a,a+1]` 有且仅有两个元素，于是只需把 `A` 的元素由小到大排列出来，就能判断何时 `[a,a+1]` 恰能框住两个。

因为 `k\leqslant0` 时负，`k\geqslant1` 时非负，先排负的部分，求导得 `f'(x)=xe^x`，所以由小到大排列就是 `\{f(0),f(-1),f(-2),\ldots\}`，非负的部分则是 `\{f(1),f(2),f(3),\ldots\}`，所以 `A=\{-1,-2/e,-3/e^2,\ldots,0,e^2,2e^3,\ldots\}`。

显然在 `0` 之后的相邻元素之差都大于 `1`，所以 `a\geqslant0` 时不符合；
而在 `0` 之前趋向 `0`，所以任意 $(-\veps,0)$ 内都包含 `A` 的无穷个元素，所以 `-1\leqslant a<0` 时都不符合；
当 `a<-1` 时，显然只需 `-2/e\leqslant a+1<-3/e^2`，即 `a\in[-2/e-1,-3/e^2-1)`。

isee

回复 6# kuing

还真是把等号给漏了。其实想了，画个图就差不多了，具体值到底是$f$几就没管了，哈哈哈

敬畏数学

回复 6# kuing
确实严密叙述有点难度。