异面垂直多少对

qingfengmingyue

异面垂直有多少对

kuing

纯文字题目请转录为文本，尽量不贴图：一、便于日后搜索；二、节省空间。

笨方法：分类讨论。
1、第一条线取棱，则第二条线有 `6` 种选择：比如一取 `AA_1`，则二在 `\triangle BCD` 和 `\triangle B_1C_1D_1` 上取；
2、第一条线取面对角线，则第二条线有 `5` 种选择：比如一取 `AC`，则二在 `BB_1D_1D` 上取（注意要排除 `BD`）；
3、第一条线取体对角线，则第二条线有 `6` 种选择：比如一取 `AC_1`，则二在 `\triangle BDA_1` 和 `\triangle B_1D_1C` 上取。
最后，由于都重复计算了一次，所以要除以 `2`，所以答案为 `(12\times6+12\times5+4\times6)\div2=78`。

wwdwwd117

回复 2# kuing

我也是算的78，但是分类不一样24+24+24+6=78

色k

回复 3# wwdwwd117

过程写一下啊

qingfengmingyue

回复 2# kuing

开始数得是70对 棱与棱异面垂直的少数了8对

qingfengmingyue

回复 4# 色k

棱与棱24对  面对角线与面对角线6对  面对角线与棱24对 体对角线与面对角线24对

kuing

用程序验证不知有何简单方法？
我用MMC(A)验证如下：

1. lst0 = Tuples[{0, 1}, 3];
2. lst1 = Subsets[lst0, {4}];
3. lst2 = Table[{(lst1[[i, 1]] - lst1[[i, 2]]).(lst1[[i, 3]] - lst1[[i, 4]]),
4. (lst1[[i, 1]] - lst1[[i, 3]]).(lst1[[i, 2]] - lst1[[i, 4]]),
5. (lst1[[i, 1]] - lst1[[i, 4]]).(lst1[[i, 2]] - lst1[[i, 3]]),
6. Det[{lst1[[i, 2]] - lst1[[i, 1]], lst1[[i, 3]] - lst1[[i, 1]],
7. lst1[[i, 4]] - lst1[[i, 1]]}]}, {i, 1, Length[lst1]}];
8. DeleteCases[lst2, {___, ___, ___, 0}];
9. Flatten[%];
10. Select[%, # == 0 &] // Length

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lst0 是八顶点坐标，lst1 是任取四点，lst2 计算 lst1 每组点的两两连线的数量积，以及一个用于判断是否四点共面的行列式，然后将共面的删掉，最后统计有多少个 0。
输出结果 78

qingfengmingyue

回复 7# kuing

相交垂直应该是54对吧

kuing

回复 8# qingfengmingyue

是的，其中四点共面垂直相交的 6 个，直角三角形 48 个。

后者可用类似于 7# 的程序验证：

1. lst0 = Tuples[{0, 1}, 3];
2. lst1 = Subsets[lst0, {3}];
3. lst2 = Table[{(lst1[[i, 1]] - lst1[[i, 2]]).(lst1[[i, 1]] - lst1[[i, 3]]),
4. (lst1[[i, 2]] - lst1[[i, 3]]).(lst1[[i, 2]] - lst1[[i, 1]]),
5. (lst1[[i, 3]] - lst1[[i, 1]]).(lst1[[i, 3]] - lst1[[i, 2]])}, {i, 1, Length[lst1]}];
6. Flatten[lst2];
7. Select[%, # == 0 &] // Length

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敬畏数学

要得到78答案，不易啊。