圆锥内棱长最大的四面体

isee

2019年广州二模理科第16题：

有一个底面半径为$R$，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为$a$的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则$a$的最大值为______.

这题意是不是就是内切球哦？如果是，（或者我先按内切球，再求内切球内接正四体），我算的结果是 $\frac {2\sqrt 2}3 R$

kuing

按题目的描述来说不一定是内切球，事关并没有说转动时中心要固定，所以可能可以比内切球的要更小一些。

kuing

为了更容易理解我的意思，我举个平面上的简单例子：
在边长为 `R` 的正方形内放一个边长为 `a` 的正三角形，且它在正方形内可以任意转动，那么 `a` 的最大值是 `R`（而不是内切圆啥的）。

动图演示如下：


所以 1# 的题目很可能不是内切球，事关正四面体中心与各顶点那些连线的夹角好像不是 120 度吧？……

敬畏数学

回复 3# kuing
以前一直以为是一楼的解答，但也一直疑惑，看到高手的解答，也觉得以前想法欠妥。

isee

回复 3# kuing

这图霸气。

翻了一下答案，我算的结果是正确的，但细节肯定是有问题的。

kuing

回复 5# isee

命题者认为的应该和你一样，中学考题哪会考虑那么多。

可惜，让我去证明存在比 `\frac{2\sqrt2}3R` 更大的 `a` 也能任意转动，这也十分困难，毕竟空间中的转动比平面难太多了……

lemondian

这里有人就这题写了些东西：zhuanlan.zhihu.com/p/63894221

色k

回复 7# lemondian

果然证起来很麻烦，我都不想进坑。有空再慢慢看看。

kuing

回复 8# 色k

果然“有空再看”是不可取的，链接404了，唉……

看来真得抽个时间存档一下最近在知乎撸的题，以防404……

kuing

回复 9# kuing

回想起这帖就是因为昨晚在知乎看到类似问题：
zhihu.com/question/446382533

刚才我又做了一个动图，与 3# 相反，是正三角形内的正方形：

边长之比为 `\dfrac{3\sqrt2-\sqrt6}4\approx0.448`。

kuing

又来了，据说是今天的考题：

（右边没拍到的字估计是“半”，也就是轴截面正三角形）
这次是圆锥内的正方体，和 1# 的应该一样。

战巡

回复 11# kuing


这个问题我也看到了

作为正方体，在圆锥里面水平旋转是完全没问题的，不用考虑
要垂直旋转，需要正方体最大的一个截面，要能在圆锥的垂直截面里面旋转

也就是求一个能在给定的正三角形里面旋转，边长比为$\sqrt{2}:1$的最大的长方体