三角形外心，内心，垂心，重心的向量表示

郝酒

三角形ABC，已知向量$\vec{AB}，\vec{AC}$，设三角形重心为G，外心为O，内心为I，垂心为H，如何用$\vec{AB}，\vec{AC}$表示$\vec{AO},\vec{AI},\vec{AH}$.
另外借此楼收集与三角形四心有关的向量等式.

kuing

\(\newcommand\ovs[2][\triangle]{\overline{S_{#1#2}}}\)
利用 $\ovs{PBC}\cdot\vv{PA}+\ovs{PCA}\cdot\vv{PB}+\ovs{PAB}\cdot\vv{PC}=\bm0$ 来推就可以了呗……

郝酒

回复 2# kuing

只用$\vec{AB},\vec{AC}$表示呀，ku版能不能示范一个，给点提示。

青青子衿

回复 3# 郝酒
参见此贴第6楼
forum.php?mod=redirect&goto=findpost& … d=4181&pid=23568
也可以参见此贴第8楼
forum.php?mod=redirect&goto=findpost& … d=5433&pid=27165
\begin{align*}   
\overrightarrow{AG}&=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\\
\\
\overrightarrow{AO}&=\dfrac{b\cos(B)\,}{a\cos(A)+b\cos(B)+c\cos(C)}\overrightarrow{AB}+\dfrac{c\cos(C)\,}{a\cos(A)+b\cos(B)+c\cos(C)}\overrightarrow{AC}\\
\\
\overrightarrow{AI}&=\dfrac{b}{a+b+c}\overrightarrow{AB}+\dfrac{c}{a+b+c}\overrightarrow{AC}\\
\overrightarrow{AH}&=\begin{split}
\,\\\,\\
\dfrac{b\cos(C)\cos(A)}{a\cos(B)\cos(C)+b\cos(C)\cos(A)+c\cos(A)\cos(B)}\overrightarrow{AB}\\
+\dfrac{c\cos(B)\cos(A)}{a\cos(B)\cos(C)+b\cos(C)\cos(A)+c\cos(A)\cos(B)}\overrightarrow{AC}
\end{split}\\
\,\\
\overrightarrow{AI_A}&=\dfrac{b}{-a+b+c}\overrightarrow{AB}+\dfrac{c}{-a+b+c}\overrightarrow{AC}\\   
\end{align*}

郝酒

谢谢 青青子衿
理解ku版的意思啦：）

青青子衿

回复 5# 郝酒
还可以这么看（首先要知道：任意一点到各类三角形心的向量表达式）
\begin{align*}   
\overrightarrow{AG}
&=\lim_{\big|\overrightarrow{PA}\big|\to 0}\overrightarrow{PG}\\
&=\lim_{\big|\overrightarrow{PA}\big|\to 0}
\left(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{PA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{PB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{PC}\right)\\
&=\dfrac{1}{3}\lim_{\big|\overrightarrow{PA}\big|\to 0}\overrightarrow{PA}+\dfrac{1}{3}\lim_{\big|\overrightarrow{PA}\big|\to 0}\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}\right)+\dfrac{1}{3}\lim_{\big|\overrightarrow{PA}\big|\to 0}\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AC}\right)\\
&=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\\
\end{align*}

isee

回复 6# 青青子衿

这样的极限之法，还是第一次见，有点意思。
感觉能通用一般。