不等式一道

Shiki

$a+b+c=3$ 求证：
$\Sigma \frac{1 }{a\sqrt{2(a^2+bc)}} \geq \Sigma \frac{1}{a+bc}$
均值可以做吗...书上的答案看不懂

kuing

有答案那就把它贴上来啊，万一我想的和答案一样那就不好了（虽然我现在还毫无头绪）

Shiki

回复 2# kuing
手机怎么传图...答案太长没法latex

Shiki

tieba.baidu.com/p/5966456137?share=9105&f … =10.1.0&sfc=copy
先贴一个计神的，和书上答案不一样

kuing

我的证法也很麻烦，幸好不等式不算强，放缩了好多回居然都没过头……

首先为方便书写记 `p=a+b+c`, `q=ab+bc+ca`, `r=abc`，由 \holder 有
\[\left( \sum\frac1{a\sqrt{2(a^2+bc)}} \right)^2\sum\frac{2(a^2+bc)}a\geqslant\left( \sum\frac1a \right)^3=\frac{q^3}{r^3}\geqslant\frac{3pq}{r^2},\]
得到
\[\sum\frac1{a\sqrt{2(a^2+bc)}}\geqslant\sqrt{\frac{3pq}{2r\sum bc(a^2+bc)}}=\sqrt{\frac{3pq}{2r(q^2-pr)}},\]
而对原不等式右边齐次化、通分以及均值得
\begin{align*}
\sum\frac1{a+bc}&=\sum\frac3{a(a+b+c)+3bc}\\
&=\frac{12p^2q}{\prod(a^2+2bc+ab+bc+ca)}\\
&\leqslant\frac{12p^2q}{\prod2\sqrt{(a^2+2bc)(ab+bc+ca)}}\\
&=\frac{3p^2}{2\sqrt{q\prod(a^2+2bc)}},
\end{align*}
所以只需证
\[\sqrt{\frac{3pq}{2r(q^2-pr)}}\geqslant\frac{3p^2}{2\sqrt{q\prod(a^2+2bc)}},\]
整理即
\[2q^2\prod(a^2+2bc)\geqslant3p^3r(q^2-pr)=3p^3q^2r-3p^4r^2,\]
由 `p^4\geqslant9q^2` 可知只需证
\[2\prod(a^2+2bc)\geqslant3p^3r-27r^2,\]
\schur 拆分为
\[4\sum b^2c^2(a-b)(a-c)+5abc\sum a(a-b)(a-c)\geqslant0,\]
即得证。

Shiki

orz好强，k神的是我唯一看懂的证明

kuing

回复 6# Shiki

哪天你用电脑时，记得把书上的答案贴一下，我比较好奇，因为看链接里的照片，这只不过是练习2的第2题，按常理应该没那么难。

kuing

嘿！看链接里的照片感觉像是小丛书系列，就搜索了下，还真找到了！在《平均值不等式与柯西不等式》第二版里，可惜在网上找到的 PDF 内有广告水印，就不截图上来了。

答案的方法还是很不错嘀，下面按我的理解大概复述一下。

答案首先对右边用 SOS-Schur 的方法得到
\[\sum\frac1{a+bc}\leqslant\frac9{2(ab+bc+ca)},\]
这步楼主应该看得懂，我就不写了，重点是下面的均值等各种技巧。

答案中可能为了说明运用了什么不等式和一些细节，所以分开一步步写，但我觉得合起来写会流畅些，就像这样：
\begin{align*}
\sum\frac1{a\sqrt{2(a^2+bc)}}&=\sum\frac{\sqrt{2(b+c)}}{\sqrt a\cdot2\sqrt{(ab+ac)(a^2+bc)}}\\
&\geqslant\sum\frac{\sqrt{2(b+c)}}{\sqrt a(ab+ac+a^2+bc)}\\
&=\sum\left( \sqrt{\frac{2(b+c)}a}\cdot\frac1{(a+b)(a+c)} \right)\\
&\geqslant\frac13\sum\sqrt{\frac{2(b+c)}a}\sum\frac1{(a+b)(a+c)}\\
&=\frac{4(a+b+c)}{3(a+b)(b+c)(c+a)}\sum\sqrt{\frac{b+c}{2a}}\\
&\geqslant\frac{4(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}},
\end{align*}
这样，就只需证明
\[\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}}\geqslant\frac{9(a+b)(b+c)(c+a)}{8(ab+bc+ca)(a+b+c)},\]
注意到 `(ab+bc+ca)(a+b+c)=(a+b)(b+c)(c+a)+abc`，所以上式可以写为
\[\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}}\geqslant\frac{9\cdot\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}}{8\cdot\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}+1},\]
换元后就是
\[t\geqslant\frac{9t^6}{8t^6+1}\quad(t\geqslant1),\]
此乃易证。