求证一个三角不等式

lemondian

在$\triangle ABC$中，求证：$sinA+cosBcosC\leqslant \dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$.

色k

太简单了吧，积化和差、放缩、合一

lemondian

回复 2# 色k
我就做不出来呀

色k

回复 3# lemondian

按我说的步骤试试啊

lemondian

回复 4# 色k
按你的试了，还是不会。。。

敬畏数学

$ LHS=sin(B+C)+cosBcosC=(sinB+cosB)cosC+cosBsinC\leqslant \sqrt{[（sinB+cosB）^2+(cosB)^2][(cosC)^2+(sinC)^2)]} $，下面就简单了。

lemondian

回复 6# 敬畏数学

这好象不是色k的做法?

huing

视A为固定值时，左边的最大值显然在B=C时取得。左边变成一元式\[
\sin2B+\cos^2B\]

kuing

回复  色k
按你的试了，还是不会。。。
lemondian 发表于 2019-4-28 14:52

唉……这都要写过程……[无奈]
\[LHS=\sin A+\frac{\cos(B+C)+\cos(B-C)}2\leqslant\sin A+\frac{-\cos A+1}2=\sqrt{1+\frac14}\sin(A+\phi)+\frac12\leqslant RHS.\]

力工

回复 9# kuing
这个题还是很容易想到的。$tanA=-2,tanB=tanC$取等

realnumber

积化和差在教材里已经修改为例题和练习，不再是公式.

realnumber

均值换元用下，
$B=0.5\pi-0.5A+t,C=0.5\pi-0.5A-t,0.5A-0.5\pi<t<0.5\pi-0.5A$