几个不等式

力工

下面的不等式，应该是大神们经常见到的，请挥挥衣袖指点下。
(1)已知实数$x,y,z$满足$x^2+y^2+z^2=1$，求$x^3+y^3+z^3-3xyz$的最大值.
(2)已知$a>b>c,a+b=1-c,ab=c(c-1)$，求$c$的范围.
大神问了“怎么才2题”，所以再加一个题
(3)已知$a,b,c$均在区间$[0,1]$上取值，求$a^2b+2b^2c-3c^2a$的最大值。

力工

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第二题构造二次方程有解，不知有没有更好的。

kuing

不是说“几个”吗，怎么就两个……

（2）无需构造啊，直接 `(1-c)^2=(a+b)^2>4ab=4c(c-1)` 解得 `-1/3<c<1`。
注意还有 `a>b>c` 这一条件，还需要进一步判断：
如果 `c<0`，则 `a+b>0`, `ab>0`，从而 `a`, `b>0`，所以肯定符合；
如果 `c\geqslant0`，则 `ab\leqslant0`，肯定不符合。
所以 `-1/3<c<0`。

力工

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k神高!本来想多发几个的，可是觉得让大家费神。

战巡

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1、
\[x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=(x+y+z)(1-xy-yz-xz)\]  
如果令$x+y+z=a$，这个会变成
\[(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=a(1-\frac{a^2-1}{2})\]
在$x^2+y^2+z^2=1$的限制下，很容易知道$-\sqrt{3}\le a\le \sqrt{3}$，于是可以求$a(1-\frac{a^2-1}{2})$在$[-\sqrt{3},\sqrt{3}]$上最大值，是$a=1$时取到

kuing

（1）记 `p=x+y+z`, `q=xy+yz+zx`，则 `p^2\geqslant3q`，条件化为 `1=x^2+y^2+z^2=p^2-2q` 以及 `x^3+y^3+z^3-3xyz=p(p^2-3q)`，而
\[p^2(p^2-3q)^2-(p^2-2q)^3 = -q^2(3p^2-8q)\leqslant0,\]所以 \[-1\leqslant x^3+y^3+z^3-3xyz\leqslant1,\]当 `q=0`, `p=-1` 时左边取等，当 `q=0`, `p=1` 时右边取等。

kuing

（3）由于原式关于 `a`, `b` 都是开口向上的二次函数或一次函数，所以只需考虑 `a`, `b\in\{0,1\}` 即可，也就是只需分 4 类讨论，具体就不写了。

力工

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(3)猜想$0,1,1$时最大，直接放缩，$a^b+2b^2c-3c^2a$不可行？
$a^2b+2b^2c-3c^2a\leqslant ab+2b^2c$这个放得尺度太大。$a^2b+2b^2c-3c^2a\leqslant a(b-3c^2)+2b^2c$.

kuing

回复 8# 力工

不知道，懒得想，理论上应该是可行的