最值互嵌

facebooker

咋弄？

咋做啊 帮帮忙吧 大神们.

色k

这题很容易中坑啊
因为一眼看出三式之和为 1，所以如果只求快，懒得验取等的话，就很容易会以为结果是 1/3。

我也暂时没什么一步到位的解法，只有分类。

首先将 `M` 写成
\[M=\max\left\{ xy,(1-x)(1-y),\frac12-2\left( \frac12-x \right)\left( \frac12-y \right) \right\},\]可以看出，将 `(x,y)` 换成 `(1-x,1-y)` 是不改变 `M` 的，于是只需证明 `x+y\geqslant1` 的情形即可（因为该置换使 `x+y<1` 变成 `x+y>1`），此时中间那项已多余，即 `M=\max\{xy,x+y-2xy\}`，然后分类讨论。

（1）当 `xy\geqslant x+y-2xy`，则 `3xy\geqslant x+y\geqslant2\sqrt{xy}`，故 `M=xy\geqslant4/9`；

（2）当 `xy<x+y-2xy`，由 `x+y\geqslant1` 且 `x\leqslant y` 知 `y\geqslant1/2`，故 `x<y/(3y-1)`，那么
\[M=(1-2y)x+y\geqslant(1-2y)\frac y{3y-1}+y=\frac19\left( 3y-1+\frac1{3y-1}+2 \right)\geqslant\frac49.\]
综上得 `M\geqslant4/9`，当 `x=y=2/3` 时取等。

敬畏数学

很容易得错误答案。