多项式个数

dding

已知整系数多项式$P(x)$的系数属于$\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$,且$P(3)=2012$,则多项式P(x)的个数是

答案是671  但不知道怎么来的

kuing

将 `2012` 写成三进制为 `2202112_3`，它就对应一个 `P(x)`，就是 `P(x)=2x^6+2x^5+0x^4+2x^3+1x^2+1x+2`。

但是现在系数可以大到 `8`，所以可以对那个三进制数的某些数码实施“退一位”操作，比如：
`2202105_3`, `2202042_3`, `2202035_3`, `2202028_3` 等等，这些又对应着其他的 `P(x)`。

而每一种“退一位”操作，实际上相当于腾出一个个位为零的数，每位都“退一位”后再加回去，比如
\begin{align*}
2202112_3&=120_3+2201222_3\\
&=36_3+2201222_3\\
&=2201258_3,
\end{align*}由此可见，所有“退一位”的方法数就是 `220211_3`，就是 `670`，加上原来的三进制数，所以答案就是 `671`。

dding

谢谢，能不能解释清楚下啊,为什么最后是$220211_{3}$

kuing

回复 3# dding

因为腾出来退位的数就是介于 `10_3` 至 `2202110_3` 的个位为零的数啊