函数与导数，衡水中学2019年高三下学期一调16题

guanmo1

战巡

回复 1# guanmo1


哼，小破衡中以为弄个解不出来的函数大家就没办法玩分离参数了，非要动用各种奇技淫巧？对不起，劳资有的是重武器，大可以正面强攻

首先介绍朗博的$W$函数，其实也很简单，就是$f(w)=we^w$的反函数，$W(x)=f^{-1}(x)$

那么显然$W(x)$是增函数，而且$x>0$时$W(x)>0$，另外
\[W'(x)=\frac{1}{f'(w)}=\frac{1}{e^w(1+w)}=\frac{1}{x+\frac{x}{W(x)}}\]
这里显然分离参数会变成
\[\lambda xe^{\lambda x}\ge x\ln(x)\]
\[\lambda x\ge W(x\ln(x))\]
\[\lambda\ge\frac{1}{x} W(x\ln(x))\]
于是变成求$\frac{1}{x} W(x\ln(x))$在$x\in (e^2,+\infty)$上的最大值，对此求导可知
\[\frac{d}{dx}[\frac{1}{x} W(x\ln(x))]=-\frac{W(x\ln(x))}{x^2}+\frac{(1+\ln(x))W'(x\ln(x))}{x}\]
\[=\frac{1}{x^2}[(1+\ln(x))\frac{1}{x\ln(x)+\frac{x\ln(x)}{W(x\ln(x))}}-xW(x\ln(x))]\]
\[=-\frac{W(x\ln(x))}{x^2\ln(x)(1+W(x\ln(x)))}[\ln(x)W(x\ln(x))-1]\]
那么显然决定导数符号的会是$\ln(x)W(x\ln(x))-1$这一块，而又显然$\ln(x)W(x\ln(x))$是增函数，有$\ln(x)W(x\ln(x))\ge \ln(e^2)W(e^2\ln(e^2))=4>1$，上面整体为负，最大值就在$x=e^2$取到，因此
\[\lambda\ge \frac{1}{e^2}W(e^2\ln(e^2))=\frac{2}{e^2}\]

敬畏数学

$ \lambda xe^{\lambda x}\geqslant xlnx=e^{lnx}lnx $,$ h(x)=xe^x(x>0) $为增函数，则：$ \lambda x\geqslant lnx $，$ \lambda \geqslant \frac{lnx}{x} $，显然$ \lambda \geqslant \frac{2}{e^2} $。套路。。。。

isee

回复  guanmo1


哼，小破衡中以为弄个解不出来的函数大家就没办法玩分离参数了，非要动用各种奇技淫巧？ ...
战巡 发表于 2019-5-12 02:11

朗博的$W$函数，学习了，这么一来，好多超越函数便可解啊，厉害厉害

2009

令f(x)=lnλ+λx-lnlnx，需满足f(e^2)=lnλ+λe^2-ln2≥0，因为λ=2e^(-2)时取等且关于λ单调递增，所以λ≥2e^(-2)，这是必要性，再验证充分性：当λ≥2e^(-2)时，f'(x)=λ-1/xlnx≥2e^(-2)-1/2e^2>0，所以f(x)>f(e^2)≥0。综上λ≥2e^(-2)。

guanmo1

回复 3# 敬畏数学

漂亮!