2019理科数学三模12题 立体几何

走走看看

走走看看

小题都比大题复杂，答案是D。无解析过程，解析很难。

走走看看

A在平面BCD的投影在△BCD的外心上。

设△BCD的外接圆半径为R，则△BCD的面积就是 $$S=\frac{abc}{4R}。$$圆锥的高$$h=\sqrt{a^2-R^2}$$

四面体A—BCD的体积就是 $$V=\frac{1}{3}*\frac{abc}{4R}*\sqrt{a^2-R^2}。$$

a=2，b、c是△BCD的另两边。

然后求V最大时R的值，可得到夹角的余弦值$$cosβ=\frac{R}{a}。$$

如何把bc换成a的形式是关键，如何做呢？

乌贼

$ EK $为$ BC $垂直平分线，$ D $点在园上且$ AD=AF==AB=2 $，\[ V_{A-BCD}\leqslant V_{A-BCF}\leqslant V _{A(E)-BCF}\]取等条件：点$ A,E $重合，点$ D,F $也重合。\[ \cos\angle EFK=\dfrac{FE}{FK}=\dfrac{AF}{FK}=\dfrac{2}{\sqrt{7}}=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}\]

kuing

不难，由夹角相等可知 `AB=AC=AD`，故 `D` 的轨迹是个圆，如图：

有
\[
V_{ABCD}\leqslant\frac13\S{ABC}\cdot AD=\frac13\sqrt3\cdot2,
\]
当且仅当 `D` 取图中的 `N` 且 `AN\perp\triangle ABC` 时取等，此时 `MN=\sqrt{AM^2+AN^2}=\sqrt7`，故所求余弦值就是 `2/\sqrt7`，也就是选 D。

kuing

回复 4# 乌贼

这次是我慢了十几分钟主要是画图麻烦，那椭圆我放了好久才放准了……

走走看看

回复 4# 乌贼

看了半天终于看懂了。真叫我不佩服不行。非常感谢！

如果把笔误VA(E)-BCE改为VF-BCE就更好了！

走走看看

回复 5# kuing

也是看了半天，因为我在找A'N的大小。但是看来看去，没有看到，我甚至以为您算错了。

最后才明白，您是用$\frac{AN}{MN}$替代了$\frac{A'N}{AN}$了。太牛了！非常感谢！

敬畏数学

不错的一题。