函数$f(x)=e^x-\ln(x+m)$的零点问题

郝酒

函数$f(x)=\mathrm{e}^x-\ln(x+m)$,其中$m\geq 1$.
若$y=f(x)$有两个不同的零点$x_1$和$x_2$，且$x_1<0<x_2$，
求参数m的取值范围；
求证$\mathrm{e}^{x_2-x_1}-\ln(x_2-x_1+1)>\mathrm{e}-1$.
我这样证，构造函数$g(x) = \mathrm{e}^{\mathrm{e}^x}-x$，画出其草图，$x_2>0$,需要$m>g(0)=\mathrm{e}$.
第二问因为$h(x)=\mathrm{e}^x-\ln(x+1)$在$(0,+\infty)$上单增，只需证$h(x_2-x_1)>h(1)=\mathrm{e}-\ln 2>\mathrm{e}-1$,即证$x_2-x_1>1$,只需证$g(-1)<0$即可，即$\mathrm{e}^\frac{1}{\mathrm{e}}+1<\mathrm{e}$，即$\frac{1}{\mathrm{e}}<\ln(\mathrm{e}-1)$，经过计算发现符合.
不知道有没有其他的做法。

战巡

回复 1# 郝酒

首先显然定义域是$x\in(-m,+\infty)$，然后又显然$\lim_{x\to -m}f(x)=+\infty, \lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty$
既然你说$x_1<0<x_2$，那就简单了，$f(0)<0$就完事了
于是$m>e$