互嵌数列问题

facebooker

若存在无穷数列{$a_n$},{$b_n$}满足:对于任意的N∈$N_+$,
$a_{n+1}$,$b_{n+1}$是方程$x^{2}-\frac{1}{2}(a_n+b_n)x+\sqrt{a_nb_n}$=0的两根，且$a_{10}=1,b_1>0,则b_1=$

战巡

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这里必须加一个条件：两个数列都是实数数列
首先显然
\[a_{n+1}+b_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+b_n)\]
\[a_{n+1}b_{n+1}=(a_nb_n)^\frac{1}{2}\]
那么
\[a_n+b_n=\frac{1}{2^{n-1}}(a_1+b_1)\]
\[a_nb_n=(a_1b_1)^{\frac{1}{2^{n-1}}}\]

这玩意既然要是实数，得有对任意$n>0$
\[(a_n+b_n)^2\ge 4a_nb_n\]
\[\frac{1}{4^n}(a_1+b_1)^2\ge (a_1b_1)^{\frac{1}{2^{n-1}}}\]
这里$a_1,b_1\ge 0$都是常数，很显然$n\to \infty$时左边会趋于$0$，那么右边作为一个非负的东西，也必须趋于$0$，否则没戏唱了，可是右边会随便趋于$0$么？显然不会，当$a_1,b_1>0$时
\[\lim_{n\to\infty}(a_1b_1)^{\frac{1}{2^{n-1}}}=1\]
那只剩一个办法了：$a_1b_1=0$，既然你说了$b_1>0$，那就$a_1=0$好了
既如此，$a_{10}b_{10}=(a_1b_1)^{\frac{1}{2^{9}}}=0，b_{10}=0$，于是
\[a_{10}+b_{10}=1=\frac{1}{2^9}(a_1+b_1)=\frac{1}{2^9}b_1\]
\[b_1=2^9\]

facebooker

谢谢