宋老师的n元不等式

Shiki

$ a_1+a_2+\cdots+a_n=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}.$
证明或证否
$a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_{n-1}a_n +a_na_1\ge n .$

色k

幸亏我直觉准，虽然 3、4 元能证出来，但总觉得多元有可能不成立，于是就着手找反例，果然在 5 元就找到了：当
\[\{a,b,c,d,e\}=\left\{\frac18\sqrt{\frac{23}{143}},104\sqrt{\frac{23}{143}},\frac18\sqrt{\frac{23}{143}},\frac12\sqrt{\frac{23}{143}},8\sqrt{\frac{23}{143}}\right\},\]它满足条件，并且此时
\[ab+bc+cd+de+ea=\frac{11431}{2288}<5.\]

？？纳尼？回完帖才发现楼主补了句“或证否”……擦擦擦

Shiki

回复 2# 色k
k神太强了，依稀记得那帖子sqing老师也只做了三四元就没下文了，原来往上不成立了

kuing

顺便补充一点，为何我会有那种感觉，三元的 `\sum ab` 是完全对称的，四元的 `\sum ab` 它可以分解成 `(a+c)(b+d)`，仍具有很强的对称性，但是五元以上就只剩轮换，没其他了，所以事情往往就没那么好运了，故此通常提出此类猜想至少应该利用软件检验到 5 元再说。