最大值M(a,b)中的最小值25/8

realnumber

$f(x)=\abs{x^2+a}+\abs{x+b},a,b\in R,x\in [-2,2],f(x)_{max}=M(a,b),M(a,b)_{min}=\frac{25}{8}$,则a的值为___.

敬畏数学

$ a=-\frac{23}{8} $。也一样套路。

realnumber

回复 2# 敬畏数学

三流普高教书，不知道套路，说下思路

色k

先由图象猜得结果再凑过程啊，如果想装逼，猜的过程别写出来即可。

猜时：由对称性猜 `b=0`，令 `g(x)=x^2+a`，取等时应 `-g'(x)+1=0` 且 `-g(x)+x=g(2)+2`，解得 `x=1/2`, `a=-23/8`。

然后凑过程：
\begin{align*}
4M(a,b)&\geqslant f(2)+f(-2)+f\left( \frac12 \right)+f\left( -\frac12 \right)\\
&=2\abs{4+a}+2\left| \frac14+a \right|+\abs{2+b}+\abs{2-b}+\left| \frac12+b \right|+\left| \frac12-b \right|\\
&\geqslant2\left| 4-\frac14 \right|+4+1=\frac{25}2,
\end{align*} 得到 `M(a,b)\geqslant25/8`，取等时 `f(2)=f(-2)=f(1/2)=f(-1/2)=25/8`，解得 `b=0`, `a=-23/8`。

facebooker

老大你这是咋猜出的啊 有点天外飞仙的感觉

乌贼

个人理解等价于：若$ f(x) =\abs{x^2+a}+\abs{x+b},a,b\in R,x\in [-2,2],若f(x)_{max}=\dfrac{25}{8}$,则a的值为___，b的值为___。
或者说:$ f(x) =\abs{x^2+a}+\abs{x+b},a,b\in R,x\in [-2,2],f(x)_{max}=M(a,b)$,求$M(a,b)$的取值范围。且$M(a,b)$与数对$(a,b)$一一对应。

色k

回复 5# facebooker

你把那两个绝对值的草图画一画，想想最大值会在哪些地方取到，就知道我上面说的意思啦

乌贼

回复 7# 色k
要是画不出图的函数呢？

色k

回复 8# 乌贼

遇到再说反正这种一看就是套路题，想想图形就成了

游客

\begin{aligned}
& f(x)=\max \left\{\left|x^2+x+a+b\right|,\left|x^2-x+a-b\right|\right\},-2 \leq x \leq 2 . \\
& \Rightarrow f_{\max }(x)=\max \left\{\left|x^2+x+a+b\right|_{\max },\left|x^2-x+a-b\right|_{\max }\right\} \\
& =\max \left\{f(-2), f\left(-\frac{1}{2}\right), f(2), f\left(\frac{1}{2}\right)\right\} .
\end{aligned}