互相引另一点的极线的垂线段

hbghlyj

平面上两点和圆周,互相引另一点的极线的垂线段,和圆心形成的三角形相似.

kuing

如图，有 `OM=r^2/OA`, `ON=r^2/OB`, `B'M=OB\sin\angle AOB`, `A'N=OA\sin\angle AOB`，可得 `\text{Rt}\triangle OB'M\sim\text{Rt}\triangle OA'N`，然后就可以得到各种角度相等了。

isee

看了半天了才明白题目的意思。
又看了半天，才明白那个角$AOB$的正弦是$OB$，$OA$相乘，不是$OB'$,$OA'$。

只看$\vv{OA}+\vv{OB}$形成的平行四边形去了，可能还真需要算算才会出结果，只折腾角是没戏的，看来。

hbghlyj

近代的欧氏几何学 中译本 第69页
§ 142 萨蒙（Salmon（1819－1904））定理 圆心到任意两点的距离，与每一点到另一点极线的距离成比例．

设 $O$ 为圆心，$A, B$ 为任意点，$A^{\prime}, B^{\prime}$ 为它们的反演点，$A P, B Q$ 为极线 $B^{\prime} P, A^{\prime}$ $Q$ 的垂线．如果分别向 $O B, O A$ 作垂线 $A A_1, B B_1$ ，那么由相似三角形
\[
\frac{\overline{O A}}{\overline{O B}}=\frac{\overline{O A_1}}{\overline{O B_1}}
\]
又，因为 $A, B, A^{\prime}, B^{\prime}$ 共圆
\[
\frac{\overline{O A}}{\overline{O B}}=\frac{\overline{O B^{\prime}}}{\overline{O A^{\prime}}}
\]
结合这些比例式得
\[
\frac{\overline{O A}}{\overline{O B}}=\frac{\overline{O B^{\prime}}-\overline{O A_1}}{\overline{O A^{\prime}}-\overline{O B_1}}=\frac{\overline{A P}}{\overline{B Q}}
\]
即所欲证的结论．由这个定理又可导出不少有趣的结果．