三棱锥体积最小值

敬畏数学

矩形ABCD，$AB=\sqrt{3}，AD=1$，$ AF\perp  $平面ABC，AF=3，E为线段DC上一点，沿直线AE将△DAE翻折成$ \triangle GAE $，M为BG中点，则三棱锥$ M-BCF $体积的最小值_____。

乌贼

回复 1# 敬畏

由题意知$ G $点在以$ A $为球心，半径为1的球面上，在平面$ ABF $上作$ AQ\perp BF $，垂足为$ Q $，$ N $为$ AQ $与球面交点，作$ NP\perp AB $于$ P $，过$ P $作$ PH\px AD $交$ CD $于$ H $，则球面上点到平面$FBC$的最小距离为$NQ$。有\[ V_{M-FBC}=\dfrac{1}{2}V_{G-FBC}\geqslant \dfrac{1}{2}V_{N-FBC}=\dfrac{1}{12}NQ\cdot FB\cdot BC=\dfrac{1}{12}\times \dfrac{1}{2} \times \sqrt{12}\times 1=\dfrac{\sqrt{3}}{12} \]
取等条件$ DE=DH=\dfrac{\sqrt{3}}{6} $

敬畏数学

回复 2# 乌贼
大手笔！大拿！这么简单。perfect!Thanks a lot!回头好好学习。。。。。

敬畏数学

此题用函数法，简直是，计算量巨大无比，至少30分钟！