来自 585 的动点不等式

kuing

教学乡长 19:31:07

有这个结论吗？

第一时间，并不是撸题，而是先扣代码：

呐，只识别错了最后一个 c，其实也算不上错了，因为那两个 C 写得几乎一样……

代码复制出来后，开始撸题：
$$(P A+P B+P C)^{2} \geqslant \sqrt{3}(a P A+b P B+c P C)$$

kuing

证：在惯性矩不等式 `(x+y+z)(xPA^2+yPB^2+zPC^2)\geqslant yza^2+zxb^2+xyc^2` 中，令 `x=1/PA` 等，得
\[\left( \frac1{PA}+\frac1{PB}+\frac1{PC} \right)(PA+PB+PC)\geqslant\frac{a^2}{PB\cdot PC}+\frac{b^2}{PC\cdot PA}+\frac{c^2}{PA\cdot PB},\]即
\[(PB\cdot PC+PC\cdot PA+PA\cdot PB)(PA+PB+PC)\geqslant a^2PA+b^2PB+c^2PC,\]所以
\begin{align*}
(PA+PB+PC)^4
&\geqslant3(PB\cdot PC+PC\cdot PA+PA\cdot PB)(PA+PB+PC)^2\\
&\geqslant3(a^2PA+b^2PB+c^2PC)(PA+PB+PC)\\
&\geqslant3(aPA+bPB+cPC)^2,
\end{align*}两边开荒即得证。

kuing

惯性矩不等式不愧是母不等式，可以随便整出各种不等式来，比如，我们取 `x=PB\cdot PC/PA` 等，又有
\[3\bigl((PB\cdot PC)^2+(PC\cdot PA)^2+(PA\cdot PB)^2\bigr)\geqslant a^2PA^2+b^2PB^2+c^2PC^2,\]对右边再放个缩，可得
\[3\sqrt{(PB\cdot PC)^2+(PC\cdot PA)^2+(PA\cdot PB)^2}\geqslant aPA+bPB+cPC,\]这个与 1# 的题应该是不分强弱的。

isee

推 Mathpix Snip 啦，虽然我觉得还不如直接手动输入

Mathpix Snip 能连续多行（一次性）识别的话，那就真不错了。

爪机专用

回复 4# isee

代码熟练的，而且对代码有要求的，自然会觉得手动输入更好。
我推荐它的用意之一其实是想给不太愿意码代码的一个学习的途径，或者说尝试的契机。

isee

回复 5# 爪机专用

用心良苦。。。

敬畏数学

回复 2# kuing
牛。