椭圆相关的四点共圆

lemondian

求教大家：
设椭圆$C$的两焦点为$F_1,F_2$，两准线为$l_1,l_2$，过椭圆上的一点$P$，作平行于$F_1F_2$的直线，分别交$l_1,l_2$于$M_1,M_2$，直线$M_1F_1$与$M_2F_2$交于点$Q$。证明：$P,F_1,Q,F_2$四点共圆。
图如下。

kuing

很简单啊……
当 `P` 不在 `y` 轴上时，由正弦定理有
\[\frac{\sin\angle PF_1Q}{\sin\angle PM_1F_1}=\frac{PM_1}{PF_1}=\frac1e=\frac{PM_2}{PF_2}=\frac{\sin\angle PF_2Q}{\sin\angle PM_2F_2},\]显然 `\angle PM_1F_1=\angle PM_2F_2`，所以
\[\sin\angle PF_1Q=\sin\angle PF_2Q,\]而 `P` 不在 `y` 轴上时 `\angle PF_1Q\ne\angle PF_2Q`，只能是 `\angle PF_1Q+\angle PF_2Q=\pi`，从而四点共圆。
最后再另外验证一下 `P` 在 `y` 轴上的情形即可，易证此时垂直，过程略。

其妙

回复 2# kuing
这个定义用的妙！不过想想也只有这样用定义才自然（不是老是向学生强调圆锥曲线定义的基础性和重要性么）！

isee

回复 3# 其妙

第二定义早没“市场”了，不过，的确是用定义的好范例

lemondian

回复 2# kuing
此题，我开始是用解析法，通过坐标来证的，思路不难，只是运算量较大。
例如：（1）先求得$\triangle F_1QF_2$的外接圆方程，再将点$P$代入验证;
（2）设$PQ$交$x$轴于点$T$，证；$F_1T\cdot F_2T=PT\cdot QT $;
等等
比不上kuing的方法简便！