有没几何办法？折射问题

realnumber

A(1,1),B(2,2),P(x,0),要使│AP│+2│BP│最小，求P点位置.
知道直接用导数的办法，以及转化为光线折射问题（结果和求导一样）.
有人问是否有几何办法？

isee

回复 1# realnumber


多半是阿氏圆，我猜的。（直线也可以看到半径无穷大的圆）

爪机专用

回复 2# isee

你倒是下手试一试啊……

其妙

回复 1# realnumber
柯西不等式可以做吧

isee

回复 3# 爪机专用


一，楼主的题都是坑
二，楼主多半自行解决
三，这即不几何又代数，不美
四，不在我的模拟卷中
五，哈哈哈

kuing

我只是想说“难度守恒定律”

isee

回复 6# kuing


参见第一条，，，，，不过，在我印象中，，，单老用初等方法，就是平面几何法，证明过光折射问题，不过。。。。

乌贼

印象中讨论过，无果。

其妙

回复 8# 乌贼
在人教论坛有几何方法的（大约在2011年前后，估计是2011年前），好像和向直线投影有关。

realnumber

我只是想说“难度守恒定律”
kuing 发表于 2019-5-28 23:37

没百度到意思

爪机专用

回复 10# realnumber

因为这词儿是俺发明嘀
其实就是说，既然求导需要解一个没有简单解的高次方程，那么无论换啥方法，即使能进行，最终也会遇到这个方程（或与之等价的），不会突然间变得很简单，就正如你转化为光折射所见到的那样。

isee

回复 7# isee

记错了，原来是张景中院士给出的证明，摘自 新概念几何。

供参考吧。

乌贼

硬构几何法还是有的，只是更复杂了，不如代数及不等式简单。

    如图：令$ D $为$ AP $的中点，$ D $的轨迹为直线$ l $，可惜$ B_1,P,D $三点共线时不与直线$ l $垂直，那么在$ AP $右侧构造一点$ C $，使$ PD=PC,\angle APC=\angle \theta  $，则点$ C $的轨迹也是另一直线$ l_1 $，通过计算可找到一个$ \theta  $角使得点$ B_1,P,D $共线时与直线$ l_1 $垂直，此时点$ B_1 $到直线$ l_1 $的距离即为其最小值。

敬畏数学

光线牛！

hbghlyj

椭圆的光学性质的推广
1#问题就是把这帖中的直线CD斜率取为$-\frac12$的情况