四道与多边形有关的问题

hbghlyj

(1)一个2016边形共有n条对称轴，求n的所有可能值
(2)一个圆内接n边形(n＞6)，顺次选取相邻的6条邻边并交换前3条和后3条的位置，重复这样的操作，能否得到同圆内接的任一个与原多边形的边长全相等但顺序不同的n边形
(3)沿凸n边形的任意互不相交的n-3条对角线总能将其分为n-2个由多边形顶点形成的三角形。对于其中一种分法，每次选取有公共边的三角形，将其公共边代以另外两顶点的连线，重复这样的操作，能否得到多边形的所有其他分法
(4)以凸n边形的n个顶点、形内的m个点(不含边界)为顶点，任三点不共线，将凸n边形的内部划分为互不重叠的三角形，有多少种分法

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（1）三角形n=3.可以有1，3条对称轴。比如等腰直角三角形与正三角形，不会有2条对称轴.
n=4,可以有1，2，4；n=5可以是1，5；n=6可以是1，2，3，6
因此猜测$2016=2^5\times3^2\times7$对称轴数应该是36个因数.
n奇数时，对称轴就过顶点与边的中点；n偶数时，对称轴过两个顶点或两个边的中点.
（2）交换不太理解，一次交换，相关的几条边长怎么变的？
（3）试了n=4,5,6没发现得不到的分法，假设“不可以得到所有的分法的最小的值”是“n=k0”，它至少有2种分法不能互相转换，记为A分法与B分法，顶点依次编号，1，2，3，....，n.若3号顶点都没连线，说明2，4相连，考虑1，2，3，4或2，3，4，5，总能操作一次，使得3号有连线；接下来选定与3号相连的那条线，把n=k0边形分割成两个小于k0边形的多边形，总能变换为3号与5号相连，如此暂时去掉4号，则为k0-1边形，总能够互相变换，填上第四顶点，这2种分法也能互相变换.
（4）三角形内添一点，就多2个三角形，这样？

hbghlyj

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(2)的表述模糊不清，已经修改了
(4)应该是最困难的问题了。显然个数为n+2m-2但分法的数目很难求

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(2)至少对$n=3k,k\in N$的不成立，比如n=9,依次对顶点编号1,2,3,...,9
按3边与相邻三边次序不变交换，那么编号同余（模3）的交换，不同余的不会交换.（类似交换4边等也一样）.对n=3k+,3k+2不清楚，猜测也不会成立.
（4）,记n边形,内有m个点($n\ge3$)有f(n，m)种分法，
另外这些问题解决是在处理什么事情，冒出来的啊？
m=0时，那么f(3,0)=1,f(4,0)=2,f(5,0)=5（总是都与某顶点相连）,f(6,0)=11,想不出.....
m=1时，f(3,1)=1,f(4,1)=2+1(与m=0比较，多出来一种是这个点与所有顶点相连)，
f(5,1)=


上图如果没遗漏的话，表明四点内放两点，放置种数与位置有关，分别是6种与8种，说明问题并不简单.

hbghlyj

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这些问题可以辅助证明一些多边形的问题。比如为了证明这个cut-the-knot.org/proofs/jap.shtml我们通过(3)只需证明一个四边形的情况:cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/CyclicQu … al.shtml#explanation(记得是某年cmo几何出处)

hbghlyj

再补充一道“多边形三角剖分”的题目。（出自x大学自主招生考试）
正多边形用对角线将其划分为三角形，任两条对角线不相交，证明：任何一种分法,所分出的三角形都恰有1个锐角三角形
我把网络上的证明整理如下：

高亮的部分是我不太理解的。用同样的方法，比如假设∠CAD是钝角，就找到△CDE,E在CD的另一侧,则∠CED是锐角等等。可是这样构造出来的三角形仅仅知道一个角是锐角，不能说明任何问题呀

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    试了下正方形和正六边形，有不存在锐角三角形的分法.

hbghlyj

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看来应该改成正奇数边形。
题干比较短的题目通常会被流传成错题。

realnumber

以正11边形为例，随意连条边AB,总有AB一侧点少（DE）,另一侧点多（C），点少的那侧都是钝角三角形了，圆周角大于90度了，
接下来看图2，继续看A或B出发的线（AB至少一点会有线的），注意那侧点多或少（相对于全体11点，去掉本身2点，还有9点），继续选择点多的一侧，直至结束，得到 唯一一个三角形，好象是锐角三角形了.心虚得笑一下，
另外4楼更新了图片，没错的话，问题4猜是很复杂了.

hbghlyj

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还可以继续探究,正2n边形如此分出的锐角,直角,钝角三角形个数的有序三元组(a,b,c)的所有可能
我能力有限,只能先考虑几个特例：
首先有一种分法,连接某一顶点和其余(2n-3)个顶点，即(0,2,2n-4)

还有一类分法,每隔1个顶点,连接出一个n边形.设$2n=p·2^q$，(p是奇数,q∈N*)，则分到最后是正p边形，恰能分出1个锐角三角形，总共是(1,0,2n-3)