来自人教论坛的构成三角形概率（经典问题的变式）

kuing

原贴链接 bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2845085
题目：

2013河南预赛
将长度为1的木棍任意的折成两段，较长的再随机折成两段，求三段能构成三角形的概率

\(\require{cancel}\)
概率问题不太在行，不知能不能如下这样做？

设第一次折断后较短的一条长为 $x$，则易知第二次折断后能构成三角形的概率为 $x/(1-x)$，于是所求的概率为
\[\xcancel{\int_0^{1/2}\frac x{1-x}\rmd x=\ln2-\frac12\approx 0.193147.}\]

===============
错了，正确的见6#

kuing

这个结果与我的第一感觉有所出入，因为它居然比 1/4 小，所以真有点信心不足的说……

第一章

k的这种不懂。高中的题也肯定不是这个做法。
线性规划吧。印象中，$ \frac{1}{4}$

kuing

1/4 是原经典问题（即直接随机断成三段）的结果。
我的第一感觉是结果应该会比 1/4 大的，因为第二次选较长的来断，可以说是个优化了的操作，概率应该有所增大。
所以现在觉得奇怪，但是上面的解法我又找不到什么问题……

kuing

又想了想，好像一楼的应该乘以2才对……

kuing

要乘以2的原因，是因为第一次折断时，较短的长度在区间 $[x,x+\Delta x]$ 上的概率为 $2\Delta x$，因此积分的时候后面应该是 $\rmd{(2x)}$，也就是说结果应该是
\[\int_0^{1/2}\frac x{1-x}\rmd{(2x)}=2\ln2-1\approx 0.386294.\]

终于符合第一感觉了。

kuing

k的这种不懂。高中的题也肯定不是这个做法。
线性规划吧。印象中，$ \frac{1}{4}$ ...
第一章 发表于 2013-7-16 17:59

说不定是命题人意料之外的事……

kuing

用 mathematica 写了个简单程序验证一下结果。

n = 10000;
Do[{
  i = 0;
  Do[{
     cut1 = RandomReal[];
     If[cut1 < 0.5, a = cut1, a = 1 - cut1];
     b = RandomReal[1 - a];
     c = 1 - a - b;
     If[a + b > c && b + c > a && c + a > b, i++];
     }, {n}]
   Print[N[i/n]]
  }, {10}]

意思是用10000次操作得到比例，做10次试验，得到10个数据，刚才一次得到的数据是
0.3871
0.3826
0.3907
0.3857
0.3904
0.3767
0.3804
0.3795
0.3838
0.3843

跟理论值还算近吧

kuing

增大 n 更精确，当然运行时间更慢些。

n = 200000;
Do[{
  i = 0;
  Do[{
     cut1 = RandomReal[];
     a = Min[cut1, 1 - cut1];
     b = RandomReal[1 - a];
     c = 1 - a - b;
     If[a + b > c && b + c > a && c + a > b, i++];
     }, {n}]
   Print[N[i/n]]
  }, {10}]

得
0.38558
0.386795
0.385885
0.38624
0.385825
0.385315
0.38932
0.3864
0.3885
0.388405

至少不会是 1/4 或 1/3

注：
RandomReal[XX] 是产生0~XX之间的实随机数，留空时XX=1。
Min[...] 是取较小者，上一楼用了 If ，没区别。
N[...] 是取近似数值，默认为6位有效数字。

kuing

原贴中网友“yddy11”的解答如下

设第一次折断后，较短的一段为x，则0<x<1/2，较长一段为t=1-x，1/2<t<1.

第二次折断后，所得两段记作y、z，则y+z=t=1-x，∴z=1-x-y>0，知0<x+y<1。

由组成三角形的条件：x+y>z且y+z>x且z+x>y得，0<x<1/2，0<y<1/2，1/2<x+y<1.

可行域是0<x<1/2且0<x+y<1(梯形)；组成三角形的条件是0<x<1/2，0<y<1/2，1/2<x+y<1（三角形）.

p=s/S=(1/8)/(3/8)=1/3.

应该怎么说明其问题所在？

kuing

本题的完整版见 wenku.baidu.com/view/3f636109e87101f69e319530.html（第四大题），那里的参考答案（假设链接中的文档内容为真）跟“yddy11”的类似，汗……

kuing

知道应该怎么说了。

设第一次折断后，较短的一段为x，则0<x<1/2，较长一段为t=1-x，1/2<t<1.

第二次折断后，所得两段记作y、z，则y+z=t=1-x，∴z=1-x-y>0，知0<x+y<1。

由组成三角形的条件：x+y>z且y+z>x且z+x>y得，0<x<1/2，0<y<1/2，1/2<x+y<1.

可行域是0<x<1/2且0<x+y<1(梯形)；组成三角形的条件是0<x<1/2，0<y<1/2，1/2<x+y<1（三角形）.

p=s/S=(1/8)/(3/8)=1/3.

这个解法中，前面都没问题，错只错在最后一步，这是因为点(x,y)在可行域内并不是均匀公布的。

我们先不管它是否构成三角形，仅看基本事件。考虑梯形可行域内的点(x,y)在其中位线(即x=1/4)两侧的分布，由于x仅由第一次折断所决定，所以易见x<1/4和x>1/4的概率相同，也就是说如果我们做大量重复试验，那么在中位线两侧的点的数量是相近的，但是两侧面积显然不同，左大右小，因此右侧的点将会更密集(事实上越右越密)，这就说明了点的分布不均匀，便不能直接用面积比计算概率。

第一章

佩服kk，能折腾到凌晨4点。
如kk所说的，说不定是命题人意料之外的事……
这种级别的考试，出这样的“凑题”也很正常啊，高考也出现过的。2011•全国卷（理）22题也有凑的痕迹……

kuing

在 mathematica 中模拟了一下，做10000次重复试验
n = 10000;
i = 1;
Do[{
  cut1 = RandomReal[];
  x[i] = Min[cut1, 1 - cut1];
  y[i] = RandomReal[1 - x[i]];
  i++
  }, {n}]
ListPlot[Table[{x[k], y[k]}, {k, 1, n}],
PlotRange -> {{0, 1}, {0, 1}}, AspectRatio -> 1]
得

kuing

回复 13# 第一章

呵呵，我本来就夜猫，加上想着题，就更夜了……
三点多的时候想好怎么说，本来打算睡一觉起来再回贴，但是睡不着，干脆就用爪机回了，反正不用打公式。
那道题跟这道的拼凑方式一样，生硬，无趣，居然还是高考题

hongxian

回复 6# kuing

好解,总算看明白了!

hongxian

回复 12# kuing
基本事件的等概率性的确太容易忽视了!其实我刚开始做的也是$\dfrac13$

kuing

我在考虑将这个问题整理成文放《数学空间》去
但是积分那里不知怎样解释才能更容易被理解接受……用所谓的“微元法”代替不知行不行

其妙

回复 14# kuing
太牛啦！还能搞模拟！
运用现代高科技啦！虽然教材也简单介绍过模拟。

kuing

回复 19# 其妙

有图有真相才有说服力喔