椭圆中的定值问题

lemondian

已知点$B(x_0,y_0)$在椭圆上，过点$B$作椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的切线$l$，直线$l$交$x$轴于点$A$，过点$A$任作一条直线交椭圆于$M,N$两点，若直线$BM,BN$分别交$x$轴于$P,Q$两点。是否存在一点$C$，使得$|CP|\cdot |CQ|$为定值？若存在，请求出点$C$的坐标。

kuing

设 `B` 在 `x` 轴上的投影为 `B'`，则 `B'A` 的中点就是所求的 `C`。

证明：易证 `B'`, `P`, `A`, `Q` 四点调和，则由调和点列的性质知 `CP\cdot CQ=CA^2`，即为定值。

lemondian

回复 2# kuing

又秒了.请问有解析法证明么?
参量多,搞不好

isee

回复 3# lemondian

此题，退一步即是：接2#字母，设直线$BB'$交$AM$于$L$，设点$M$在$A$，$N$之间，则原命题等价于证$$ML\cdot AN=AM\cdot LN.$$

hbghlyj

趁热乎问一个初中抛物线定值问题：这题第3问是什么背景？m.jyeoo.com/math/ques/detail/29ed8a9e-a650-40da-a667-307171118d85

kuing

回复 5# hbghlyj

没帐号，看不了。

hbghlyj

回复 6# kuing
过点P(1,3)任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线$y=−\frac14x^2+\frac12x+\frac{15}4$于$M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2)$两点，试探究$\frac{M_1P M_2P}{M_1M_2}$是否为定值

isee

回复 4# isee

此题本质上说，是这个抛物线是完全一样的。

kuing

回复  kuing
过点P(1,3)任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线$y=−\frac14x^2+\frac12x+\frac{15}4$于$M_1 ...
hbghlyj 发表于 2019-6-7 20:09

`P` 恰是抛物线焦点，作出准线及各路垂线，连成如下图，由定义有 `PM_1=M_1N_1`, `PM_2=M_2N_2`，问题的背景就是梯形中的结论：
\[\frac1{M_1N_1}+\frac1{M_2N_2}=\frac2{PQ}.\]

isee

回复 9# kuing

初中一般就是这个了，或者是抛物线的定义