证明$a^5+b^5+c^5\geqslant abc(a^2+b^2+c^2)$

isee

正实数$a,b,c$，求证$a^5+b^5+c^5\geqslant abc(a^2+b^2+c^2)$.

kuing

不是吧……这还用问？简直随便证啊……

isee

回复 2# kuing

这肯定入不了你的法眼啦~

kuing

回复 3# isee

给个加强你玩玩好抱？\[abc(a^2+b^2+c^2)\leqslant\frac{(a+b+c)^5}{81}.\]这其实也不难喔

kuing

更加一点的话：
\[abc(a^2+b^2+c^2)\leqslant\frac{(b+c)(c+a)(a+b)(a+b+c)^2}{24}.\]这个就有点难度了。

注：以上两个都能在《撸题集》里找到。

isee

回复 4# kuing

实话说，主楼那道 我就算了好久还没绕出来呢。。。。歇会，先。。。。

kuing

回复 6# isee

切比雪夫不等式了不了解？
不了解的话，排序不等式了不了解？
再不，那将原不等式写成这样你还会不会？：`\frac{a^4}{bc}+\frac{b^4}{ca}+\frac{c^4}{ab}\ge a^2+b^2+c^2`

敬畏数学

真的随便都能证。$ \frac{a^4}{bc}+\frac{b^4}{ac}+\frac{c^4}{ab} \geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{bc+ac+ab}$，又$ a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ac $完毕。

敬畏数学

似乎昨天那个也是闭眼睛瞎证也得全分。

其妙

回复 1# isee
kuing懒得写，我来练练笔，好久没做题了，
已知$a$，$b$，$c>0$，求证：$a^5+b^5+c^5\geqslant abc(a^2+b^2+c^2)$.

证明：$a^5+b^5+c^5=\dfrac{a^4}{\dfrac1a}+\dfrac{b^4}{\dfrac1b}+\dfrac{c^4}{\dfrac1c}\geqslant\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c}=\dfrac{abc(a^2+b^2+c^2)^2}{bc+ca+ab}\geqslant abc(a^2+b^2+c^2)
$

isee

回复 8# 敬畏数学


与7#同时哇。。。


学习了，谢谢。





回复 10# 其妙

这变形方法，受教了，继续4#。

yao4015

算术-几何平均
\begin{align}
x^5+x^5+x^5+y^5+z^5\geq 5\sqrt[5]{x^{15}y^5z^5}=5x^3yz\\
y^5+y^5+y^5+x^5+z^5\geq 5\sqrt[5]{y^{15}x^5z^5}=5y^3xz\\
z^5+z^5+z^5+x^5+y^5\geq 5\sqrt[5]{z^{15}x^5y^5}=5z^3xy
\end{align}
三式相加除以$5$, 完事.

另外, 高考那个 $23$ 题, 哪个出的 ?

血狼王

这个可以试试
$$abc(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{(a^2b+b^2c+c^2a)(a+b+c)^2}{9}$$

isee

回复 7# kuing

知道排序不等式，但没用过。

今天温习了一下，用排序不等式，是这个意思？

不妨设$a\leqslant b\leqslant c$，则$$a^4\leqslant b^4\leqslant c^4,\frac 1{bc}\leqslant \frac 1{ac}\leqslant \frac 1{ab},\cdots$$由排序不等式$$\frac {a^4}{bc}+\frac {b^4}{ac}+\frac  {c^4}{ab}\geqslant \frac {a^3}b+\frac {b^3}c+\frac {c^3}a\geqslant a^2+b^2+c^2.$$

kuing

回复 14# isee

可以。
不过我的意思其实是 `\{a^3,b^3,c^3\}` 与 `\{a^2,b^2,c^2\}` 同序，由同序和 `\ge` 乱序和，
得 `a^5+b^5+c^5\ge a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2` 以及 `a^5+b^5+c^5\ge a^3c^2+b^3a^2+c^3b^2`，
相加得 `2(a^5+b^5+c^5)\ge a^3(b^2+c^2)+b^3(c^2+a^2)+c^3(a^2+b^2)\ge2abc(a^2+b^2+c^2)`。

isee

回复 7# kuing


chebyshev不等式，查了下，这个样子吧。
设$a\leqslant b\leqslant c$，则由chebyshev不等式有：
$$3(a^5+b^5+c^5)\geqslant (a^3+b^3+c^3)(a^2+b^2+c^2)\geqslant 3abc(a^2+b^2+c^2).$$
这么一看，难怪第一反应是chebyshev不等式。

kuing

这个可以试试
$$abc(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{(a^2b+b^2c+c^2a)(a+b+c)^2}{9}$$
血狼王 发表于 2019-6-10 11:57

突然发现这个就是《撸题集》P.948 开头的那个不等式……

血狼王

回复 17# kuing


是吗？
我早该想到这个前人已经出过了