调皮的参数 搞不定

facebooker

$f(x)=\ln (x+1)+\dfrac{x}{\sqrt{ax^2+1}}+ax^2$,若对$∀x\geqslant 0,f(x)\geqslant 2x$恒成立,求$a$的取值范围。

kuing

硬算好了，懒得绕……

令 `g(x)=f(x)-2x`，易知 `g(0)=g'(0)=0`，所以必须 `g''(0)=2a-1\geqslant0`，即 `a\geqslant1/2`，这是必要性，下面证明它是充分的。

当 `a\geqslant1/2` 时，将 `f(x)` 的 `x` 视为常数，对 `a` 求导，得
\[\bigl( f(x) \bigr)'_a=x^2-\frac{x^3}{2\sqrt{(ax^2+1)^3}}\geqslant x^2-\frac{x^3}{2\sqrt{3ax^2}}\geqslant0,\]可见关于 `a` 递增，因此只需证明当 `a=1/2` 时满足题意即可，此时
\[g'(x)=\frac1{x+1}+\frac1{\sqrt{\left( \frac12x^2+1 \right)^3}}+x-2,\]只需证明 `g'(x)\geqslant0`，易证
\[(t+1)^3\leqslant\left( \frac38t^2+\frac32t+1 \right)^2,\]故只需证
\[\frac1{x+1}+\frac1{\frac3{32}x^4+\frac34x^2+1}+x-2\geqslant0,\]去分母分解可整理为
\[x^2\bigl(3x^2(x^2-x+1)+2(3x-2)^2\bigr)\geqslant0,\]显然成立，即得证。

其妙

by 欢姐（据传和kuing同一城市的）：
一楼题目解答如下：