2019年北京卷理科第8题 心形曲线

isee

数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线$C$：$x^2+y^2=1+\abs{x}y$就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：



①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过$\sqrt 2$；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．

其中，所有正确结论的序号是(     )

（A）①        （B）②        （C）①②        （D）①②③

















只讨论第一象限内的图象，$x^2+y^2=1+xy$，则图象$y=x$对称，点$(1,1)$距离就是最远了~，选C

青青子衿

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\begin{align*}
\left(\frac{\frac{\left|x\right|+y}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{\frac{\left|x\right|-y}{\sqrt{2}}}{\sqrt{{}^{2}\!/\!_{3}}}\right)^2=1\\
\\
S=\pi\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi
\end{align*}*}

isee

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\begin{align*}
\left(\frac{\frac{\left|x\right|+y}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}\right)^2+\left( ...
青青子衿 发表于 2019-6-11 14:33

这意思是说，是椭圆？是哦，第一象限的方程 $x^2-xy+y^2-1=0$,$\Delta=-3<0$，不就是椭圆的一部分么。。。。。

kuing

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将斜的椭圆的一边对称上去就是心型曲线最简单的构造方法，N年前我就在QQ空间里介绍过……对称的方法就是加绝对值，如此简单……
补个图：
{ContourPlot[{x^2 - x y + y^2 == 1, x y == 0}, {x, -1.5, 1.5}, {y, -1.5, 1.5}],
ContourPlot[{x^2 - Abs[x] y + y^2 == 1, x y == 0}, {x, -1.5, 1.5}, {y, -1.5, 1.5}]}

isee

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    啧啧，真来挖到个宝呢，才知道。。。。。。

kuing

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N=9：user.qzone.qq.com/249533164/blog/1274934696（不知能不能看，还是在 4# 补个图好了……

kuing

前几天和 585 聊起这个曲线的 tikz 作图，顺便在这里记录一下。

直接用方程来画有点麻烦，比较简单的方法是对圆作变换。

首先由于椭圆 `x^2+y^2=1+xy` 的对称轴是 `y=\pm x`，由此易知其两顶点坐标是 `(1,1)` 和 `(\sqrt{1/3},-\sqrt{1/3})`，所以压缩比就是 `\sqrt{1/3}\approx0.577`，因此该椭圆可以用以下代码来画出：

1. \draw[rotate=45,yscale=0.577] (0,0) circle (1.414);

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另一个同理，然后各取一半，这可以利用 clip 的手段，clip 的时候大概估算一下边界即可，最终代码如下：

1. \tikz[>=latex]{
2. \begin{scope}
3. \clip(0,-1.1)rectangle(1.3,1.3);
4. \draw[rotate=45,yscale=0.577] (0,0) circle (1.414);
5. \end{scope}
6. \begin{scope}
7. \clip(0,-1.1)rectangle(-1.3,1.3);
8. \draw[rotate=-45,yscale=0.577] (0,0) circle (1.414);
9. \end{scope}
10. \node[below right] at (0,0) {O};
11. \draw[->](-1.5,0)--(1.5,0)node[below]{x};
12. \draw[->](0,-1.5)--(0,1.5)node[right]{y};
13. }

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Tesla35

回复 7# kuing


    我的方法多直接

zhcosin

(1) $(0,\pm 1)$, $(\pm 1, 0)$, $(\pm 1,1)$ 这六个点都在曲线上.
(2) 由于对称性，只考虑右半边，有
\[ x^2+y^2=xy+1 \leqslant \frac{x^2+y^2}{2}+1 \]
即得 $x^2+y^2 \leqslant 2$.
(3) (从图形上看，严格的话得拿出凸性来)图形已经包括了第一二象限处的两个单位正方形，以及第三四象限的各半个单位正方形(三角形)，所以面积大于3.
深挖一点嘛，前面贴子已经讲了，就是两个半椭圆拼凑起来的。所以有兴趣可以了解下二元二次方程所表示的曲线以及椭圆的面积公式。

kuing

我的方法多直接
Tesla35 发表于 2020-10-29 20:12

渣，用参数方程其实也挺好，毕竟这个的数据比较好，`\theta` 的范围是简单的。

1. \tikz[>=latex]{
2. \draw[domain=-60:120,smooth] plot ({cos(\x)+sin(\x)/sqrt(3)},{cos(\x)-sin(\x)/sqrt(3)});
3. \draw[domain=-60:120,smooth] plot ({-cos(\x)-sin(\x)/sqrt(3)},{cos(\x)-sin(\x)/sqrt(3)});
4. \node[below right] at (0,0) {O};
5. \draw[->](-1.5,0)--(1.5,0)node[below]{x};
6. \draw[->](0,-1.5)--(0,1.5)node[right]{y};
7. }

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zhcosin

利用坐标变换，也可以简单的画出来，下面是 asy 代码及图
说明:
1. arc 是绘制圆弧的函数: arc(pair c, real r, real angle1, real angle2)，绘制圆心在 c 半径为r，角度从 angle1 到 angle2 的圆弧，角度制.
2. xscale(real a) 和 yscale(real b) 分别是两个轴方向的拉伸变换，roate(real rangle) 是旋转变换，角度制
3. draw(path p, color cr) 是绘制曲线

1. import graph;
2. import geometry;
4. size(5cm,0);
6. // x 轴与 y 轴
7. xaxis("$x$", -5, 5, Arrow);
8. yaxis("$y$", -5, 5, Arrow);
10. real a = 3, b=2; // 椭圆长短半轴
11. real r = 1; // 半径
12. pair O = (0,0); // 圆心
14. // 上半圆周
15. path p = arc(O, r, 0, 180);
17. // 利用旋转与拉伸得到两个椭圆弧.
18. draw(rotate((pi/2-atan(b/a))*180/pi)*xscale(a)*yscale(b)*rotate(-135)*p, red);
19. draw(rotate((atan(b/a)-pi/2)*180/pi)*xscale(a)*yscale(b)*rotate(135)*p, red);

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