2019年江苏卷第13题 三角函数和求值

isee

13. 已知$\frac{\tan \alpha}{\tan\left(\alpha+\frac \pi4\right)}=-\frac 23$，则$\sin \left(2\alpha+\frac \pi4\right)$的值是_________.


积化和差的典范，写个具体的过程——

\begin{align*}
-\frac 23&=\frac{\tan \alpha}{\tan\left(\alpha+\frac \pi4\right)}\\[2ex]
&=\frac{2\sin\alpha \cos\left(\alpha+\frac \pi4\right)}{2\sin\left(\alpha+\frac \pi4\right)\cos\alpha}\\[2ex]
&=\frac{\sin\left(2\alpha+\frac \pi4\right)+\sin\left(-\frac\pi4\right)}{\sin\left(2\alpha+\frac \pi4\right)+\sin \frac\pi4}\\[1em]
\Rightarrow \sin\left(2\alpha+\frac \pi4\right)&=\frac{\sqrt 2}{10}
\end{align*}