旋转问题 天旋地转了

facebooker

直线$l:3x+4y=6$,椭圆 $C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$.将椭圆C绕其中心O逆时针旋转$90^。$到与椭圆$C^1,\frac{y^2}{4}+x^2=1$重合。旋转过程中椭圆C与直线$l$交于A、B两点，则|AB|的最大值___

乌贼

等价于以原点为圆心与直线相切的圆的切线与椭圆的截线长度。

facebooker

谢谢 似乎知道咋做了

kuing

反客为主，不旋转椭圆，而反过来旋转直线。

不过似乎还是需要繁琐的计算……

乌贼

所以不算

isee

回复 5# 乌贼

哈哈哈

facebooker

你们太坏了 给我算一下吧。我的思路是用三角形面积算 设出AB的坐标 三角形面积可以用坐标式表达 一步就出答案了我主要是觉得心里没底 因为要验证的话计算量有点大 不验证吧 心里没底。咋整好呢

kuing

又来玩一下速度分解……

作如图所示的速度分解，有
\[\frac{v_{Ax}}{v_{Bx}}=\frac{v_{Ay}\cot\angle QAB}{v_{By}\cot\angle QBA}=\frac{PA\tan\angle RAB}{PB\tan\angle RBA},\]如果 `AB` 在旋转过程内取最值，则取最值时必有 `v_{Ax}=v_{Bx}`，即 `PA\tan\angle RAB=PB\tan\angle RBA`，由此可得 `RP\perp AB`，也就是说，`A`, `B`, `P` 三处的法线共点是旋转过程内 `AB` 取最值的必要条件。

然并卵……

kuing

你们太坏了 给我算一下吧。我的思路是用三角形面积算 设出AB的坐标 三角形面积可以用坐标式表达 一步就出答 ...
facebooker 发表于 2019-6-20 19:20

哦，你的意思是这样？：
由于高恒定，底最大等价于面积最大，设 `A(x_1,y_1)`, `B(x_2,y_2)`，则
\[S^2=\left( \frac{x_1y_2-x_2y_1}2 \right)^2\leqslant\left( \frac{x_1^2}4+y_1^2 \right)\left( y_2^2+\frac{x_2^2}4 \right)=1,\]
但是这个等号是否一定能取到，你的疑问就是在这里是吧？

kuing

回复 9# kuing

续：由于只需证明能取等，无需算出具体值，于是可以计算两种简单情况，利用零点定理即可。

上述不等式取等号当且仅当 `x_1x_2+4y_1y_2=0`。

未旋转时，由于直线刚好过椭圆右顶点故 `y_1y_2=0`，又易知 `x_1`, `x_2` 均为正，所以此时 `x_1x_2+4y_1y_2>0`；

当直线旋转到与 `x` 轴垂直时其方程为 `x=6/5`，得 `y_i=\pm4/5`，此时 `x_1x_2+4y_1y_2=36/25-64/25<0`。

那么，在此其间，必存在一瞬间使 `x_1x_2+4y_1y_2=0`，所以等号一定能取到，因此 `S` 的最大值为 `1`，从而 `AB` 的最大值就是 `2/(6/5)=5/3`。


原问题解决了，但留下的问题就是，如果改变数据，比如将圆变大，9# 的不等式就未必能等，于是自然要问：对于一般情况，要满足什么条件才能确保那不等式能够取等？

kuing

回复 10# kuing

续续：噢，有了，用伸缩变换，变成椭圆上的动切线与圆相交得到的三角形面积，这就比较容易判断，计算一下点到直线的距离就行……

设椭圆 `\Gamma`: `x^2+k^2y^2=a^2`，圆 `O`: `x^2+y^2=r^2`，其中 `a`, `r>0`, `k>1`，直线 `l` 与圆 `O` 相切且交椭圆 `\Gamma` 于 `A`, `B`，记 $\S{OAB}=S$。

现在，沿 `y` 轴方向拉伸至 `k` 倍，那么椭圆 `\Gamma` 变成圆 `\Gamma'`: `x^2+y^2=a^2`，而圆 `O` 则变为椭圆 `O'`: `x^2+y^2/k^2=r^2`，此时三角形变为等腰 `\triangle O'A'B'`，记 $\S{O'A'B'}=S'$，则 `S'=kS`。

设直线与椭圆 `O'` 切于 `(r\cos t,kr\sin t)`，则切线方程为 `x\cos t+(y\sin t)/k=r`，那么 `O'` 到此切线的距离为
\[d=\frac r{\sqrt{\cos^2t+\frac1{k^2}\sin^2t}},\]它关于 `\sin^2t` 递增，也就是说，切点离 `x` 轴越远 `d` 越大，于是就可以根据实际情况得出 `d` 范围，然后用 `S'=d\sqrt{a^2-d^2}` 计算 `S'` 的范围，即得 `S` 的范围及 `AB` 的范围。

如果 `t` 能任意取，则 `d\in[r,kr]`，这样就比较简单，而像 1# 的题那样，做点计算应该也很容易判断，时间关系就懒得扯了……

facebooker

佩服大佬。感谢大佬。 我就不行 做完题也不会多思考 所以感觉题做不少一点进步没有