$a,b,c\inR^+,a+b+c=3$，求证：$\sum\frac{1}{a^2+ab+b^2}\geqslant 1$

dahool

$a,b,c\inR^+,a+b+c=3$，求证：$$\sum\frac{1}{a^2+ab+b^2}\geqslant 1$$
展开是可以证明，不过有点麻烦，应该有简单的方法吧！没想到，求助！

敬畏数学

我也懒得动手。简单两个字。嘿嘿。多刷题即可。

realnumber

回复 2# 敬畏数学


    表示不会，你的简单办法是？

isee

楼主或者哪位提示一下：这个 a+b+c=3 如何 用？
目标不等式是二次，怎么都联系不上的感觉。

kuing

回复 4# isee

楼主指的不用动脑的证明就是直接对\[\sum\frac1{a^2+ab+b^2}\geqslant\frac9{(a+b+c)^2}\]完全去分母展开，结果是显然的……

kuing

原来是由著名的“伊朗 96”弄出来的……

只要证明
\[(a+b+c)^2\sum\frac1{a^2+ab+b^2}\geqslant4(ab+bc+ca)\sum\frac1{(a+b)^2}\geqslant9,\]右边就是“伊朗 96”，而左边则是因为
\[\frac{(a+b+c)^2}{a^2+ab+b^2}-\frac{4(ab+bc+ca)}{(a+b)^2}=\frac{(a^2+b^2-ac-bc)^2}{(a^2+ab+b^2)(a+b)^2}.\]