三角形外心的某种向量表示

青青子衿

无论是二维平面中的三角形\(\,\triangle\!\,ABC\,\)的外接圆圆心\(\,Q\,\)以及平面中任意一点\(\,P\,\)，
还是三维空间中的三角形\(\,\triangle\!\,ABC\,\)的外接圆圆心\(\,Q\,\)以及空间任意一点\(\,P\,\)，都有：
\begin{align*}
\overrightarrow{PQ}&=\dfrac{a\cos(A)\,}{a\cos(A)+b\cos(B)+c\cos(C)}\overrightarrow{PA}+\dfrac{b\cos(B)\,}{a\cos(A)+b\cos(B)+c\cos(C)}\overrightarrow{PB}+\dfrac{c\cos(C)\,}{a\cos(A)+b\cos(B)+c\cos(C)}\overrightarrow{PC}
\end{align*}
但是，向量的系数不是完全由向量（直接）表示的，后来在其他地方看到有如下向量表达式，
代入了一组数据发现是正确的，具体是怎么证明的呢？
\begin{gather*}
\begin{split}
\lambda_1=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\\
\lambda_2=\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\\
\lambda_3=\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\\
\end{split}\qquad\qquad
\begin{split}
\mu_1=\lambda_2\lambda_3\\
\mu_2=\lambda_1\lambda_3\\
\mu_3=\lambda_1\lambda_2\\
\end{split}\\
\\
\overrightarrow{PQ}=\dfrac{\mu_2+\mu_3\,}{2\left(\mu_1+\mu_2+\mu_3\right)}\overrightarrow{PA}+\dfrac{\mu_1+\mu_3\,}{2\left(\mu_1+\mu_2+\mu_3\right)}\overrightarrow{PB}+\dfrac{\mu_1+\mu_2\,}{2\left(\mu_1+\mu_2+\mu_3\right)}\overrightarrow{PC}
\end{gather*}

isee

\begin{align*}
\overrightarrow{PQ}&=\dfrac{a\cos(A)\,}{a\cos(A)+b\cos(B)+c\cos(C)}\overrightarrow{PA}+\dfrac{b\cos(B)\,}{a\cos(A)+b\cos(B)+c\cos(C)}\overrightarrow{PB}+\dfrac{c\cos(C)\,}{a\cos(A)+b\cos(B)+c\cos(C)}\overrightarrow{PC}
\end{align*}
这个分母完全就是摆设，直接去掉即是
\begin{align*}
({a\cos(A)+b\cos(B)+c\cos(C)})\overrightarrow{PQ}&={a\cos(A)\,}\overrightarrow{PA}+{b\cos(B)\,}\overrightarrow{PB}+{c\cos(C)\,}\overrightarrow{PC}
\end{align*}
再用正弦定理，及倍角公式就是显然的了——
\begin{align*}
({\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)})\overrightarrow{PQ}&={\sin(2A)\,}(\overrightarrow{PQ}+\vv{QA})+{\sin(2B)\,}(\overrightarrow{PQ}+\vv{QB})+{\sin(2C)\,}(\overrightarrow{PQ}+\vv{QC})
\end{align*}
化简之后，显然成立

isee

这样一来，只需证：$$\frac{\mu_2+\mu_3\,}{2\left(\mu_1+\mu_2+\mu_3\right)}=\frac{a\cos(A)\,}{a\cos(A)+b\cos(B)+c\cos(C)}$$

而左边，代具体值代入约分即$$\frac{b\cos A\cos C+c\cos A\cos B}{2(a\cos B\cos C+b\cos A\cos C+c\cos A\cos B)}$$

而分子即：$$b\cos A\cos C+c\cos A\cos B=(b\cos C+c\cos B)\cos A=a\cos A,$$将分母的2倍，化为括号内的三项，两两组合，依分子计算就知道，命题成立。

青青子衿

回复 6# isee
我验证过下述式子应该没问题呀！
\begin{gather*}
\begin{split}
\lambda_1=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\\
\lambda_2=\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\\
\lambda_3=\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\\
\end{split}\qquad\qquad
\begin{split}
\mu_1=\lambda_2\lambda_3\\
\mu_2=\lambda_1\lambda_3\\
\mu_3=\lambda_1\lambda_2\\
\end{split}\\
\\
\overrightarrow{PQ}=\dfrac{\mu_2+\mu_3\,}{2\left(\mu_1+\mu_2+\mu_3\right)}\overrightarrow{PA}+\dfrac{\mu_1+\mu_3\,}{2\left(\mu_1+\mu_2+\mu_3\right)}\overrightarrow{PB}+\dfrac{\mu_1+\mu_2\,}{2\left(\mu_1+\mu_2+\mu_3\right)}\overrightarrow{PC}
\end{gather*}
当时用的例子是点\(\,P\,\)落在平面直角坐标系的原点，其他点分别为
点\(\,A(1,3)\,\)，点\(\,B(4,1)\,\)，点\(\,C(6,6)\,\)，于是就有：\begin{align*}
&&&\overrightarrow{PA}=(1,3)&&\overrightarrow{AB}=(3,-2)\\
&&&\overrightarrow{PB}=(4,1)&&\overrightarrow{BC}=(2,5)\\
&&&\overrightarrow{PC}=(6,6)&&\overrightarrow{CA}=(-5,-3)\\
\\
&&&\begin{split}
\lambda_1&=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=9\\  
\lambda_2&=\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=4\\  
\lambda_3&=\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=25\\
\end{split}&&\begin{split}  
\mu_1&=\lambda_2\lambda_3=100\\  
\mu_2&=\lambda_1\lambda_3=225\\  
\mu_3&=\lambda_1\lambda_2=36\\  
\end{split}
\end{align*}
...
\begin{align*}
\overrightarrow{PQ}&=\quad\begin{split}
\dfrac{\mu_2+\mu_3\,}{2\left(\mu_1+\mu_2+\mu_3\right)}\overrightarrow{PA}\\
+\dfrac{\mu_1+\mu_3\,}{2\left(\mu_1+\mu_2+\mu_3\right)}\overrightarrow{PB}\\
+\dfrac{\mu_1+\mu_2\,}{2\left(\mu_1+\mu_2+\mu_3\right)}\overrightarrow{PC}
\end{split}\\
&=\dfrac{261}{722}\overrightarrow{PA}+\dfrac{68}{361}\overrightarrow{PB}+\dfrac{325}{722}\overrightarrow{PC}\\
&=\left(\dfrac{145}{38},\dfrac{151}{38}\right)
\end{align*}
\begin{align*}
\Big|\overrightarrow{AQ}\Big|^2=\Big|\overrightarrow{BQ}\Big|^2=\Big|\overrightarrow{CQ}\Big|^2=\dfrac{6409}{722}
\end{align*}

isee

回复 6# isee

顶楼把$\mu_1$的具体值去掉了，那6#就失去了依据，需要再次核算了

====

6#的核算已经完成，此式并不美，也许有行列式或者向量表达式，会更漂亮些。

kuing

\(\newcommand\relph[1][=]{\mathrel{\phantom{#1}}}\)
无难度，由已知结论出发
\begin{align*}
&\relph[\iff]\sum\sin2A\cdot\vv{QA}=\bm0\\
&\iff\sum2R\sin A\cos A\cdot\vv{QA}=\bm0\\
&\iff\sum BC\frac{\vv{AB}\cdot\vv{AC}}{AB\cdot AC}\cdot\vv{QA}=\bm0\\
&\iff\sum BC^2\bigl(\vv{AB}\cdot\vv{AC}\bigr)\cdot\vv{QA}=\bm0\\
&\iff\sum\bigl(\vv{BC}\cdot\vv{BA}+\vv{CA}\cdot\vv{CB}\bigr)\bigl(\vv{AB}\cdot\vv{AC}\bigr)\cdot\vv{QA}=\bm0\\
&\iff\sum(\lambda_2+\lambda_3)\lambda_1\vv{QA}=\bm0\\
&\iff\sum(\mu_2+\mu_3)\vv{QA}=\bm0,
\end{align*}然后将 $\vv{QA}$ 等写成 $\vv{PA}-\vv{PQ}$ 等即得要证的结论。

青青子衿

回复 13# kuing
多谢！
\begin{align*}
&&\Big(\begin{matrix}
\sin\left(2A\right)&\sin\left(2B\right)&\sin\left(2C\right)
\end{matrix}\Big)\cdot
\begin{pmatrix}
\vv{QA}\\
\vv{QB}\\
\vv{QC}
\end{pmatrix}
&=\boldsymbol{0}\\
&\iff&R\cdot\Big(\begin{matrix}
2\sin\left(A\right)\cos\left(A\right)&2\sin\left(B\right)\cos\left(B\right)&2\sin\left(C\right)\cos\left(C\right)
\end{matrix}\Big)\!\cdot\!
\begin{pmatrix}
\vv{QA}\\
\vv{QB}\\
\vv{QC}
\end{pmatrix}
&=\boldsymbol{0}\\
&\iff&\Big(\begin{matrix}
R\sin\left(A\right)\cos\left(A\right)&R\sin\left(B\right)\cos\left(B\right)&R\sin\left(C\right)\cos\left(C\right)
\end{matrix}\Big)\!\cdot\!
\begin{pmatrix}
\vv{QA}\\
\vv{QB}\\
\vv{QC}
\end{pmatrix}
&=\boldsymbol{0}\\
&\iff&\Big(\begin{matrix}
\Big|\overrightarrow{BC}\Big|\cdot
\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{\Big|\overrightarrow{AB}\Big|\,\Big|\overrightarrow{AC}\Big|}
&\Big|\overrightarrow{AC}\Big|\cdot
\dfrac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{\Big|\overrightarrow{BA}\Big|\,\Big|\overrightarrow{BC}\Big|}
&\Big|\overrightarrow{AB}\Big|\cdot
\dfrac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}}{\Big|\overrightarrow{CA}\Big|\,\Big|\overrightarrow{CB}\Big|}
\end{matrix}\Big)\!\cdot\!
\begin{pmatrix}
\vv{QA}\\
\vv{QB}\\
\vv{QC}
\end{pmatrix}
&=\boldsymbol{0}\\
&\iff&\Big(\begin{matrix}
\Big|\overrightarrow{BC}\Big|^2\cdot
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}
&\Big|\overrightarrow{AC}\Big|^2\cdot
\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}
&\Big|\overrightarrow{AB}\Big|^2\cdot
\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}
\end{matrix}\Big)\!\cdot\!
\begin{pmatrix}
\vv{QA}\\
\vv{QB}\\
\vv{QC}
\end{pmatrix}
&=\boldsymbol{0}\\
&&\left\{\begin{split}
\left(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot
\left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\right)&=
\left(\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\right)\cdot
\left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\right)\\
&\triangleq(\lambda_2+\lambda_3)\lambda_1=\mu_3+\mu_2\\
\left(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AC}\right)\cdot
\left(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\right)&=
\left(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\right)\cdot
\left(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\right)\\
&\triangleq(\lambda_1+\lambda_3)\lambda_2=\mu_3+\mu_1\\
\left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}\right)\cdot
\left(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\right)&=
\left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\right)\cdot
\left(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\right)\\
&\triangleq(\lambda_1+\lambda_2)\lambda_3=\mu_2+\mu_1\\
\end{split}\right.\\
\end{align*}
...
\begin{gather*}
\boxed{
\begin{gather*}
\begin{split}
\lambda_1=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\\
\lambda_2=\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\\
\lambda_3=\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\\
\end{split}\qquad\qquad
\begin{split}
\mu_1=\lambda_2\lambda_3\\
\mu_2=\lambda_1\lambda_3\\
\mu_3=\lambda_1\lambda_2\\
\end{split}\\
\\
\overrightarrow{PQ}=\dfrac{\mu_2+\mu_3\,}{2\left(\mu_1+\mu_2+\mu_3\right)}\overrightarrow{PA}+\dfrac{\mu_1+\mu_3\,}{2\left(\mu_1+\mu_2+\mu_3\right)}\overrightarrow{PB}+\dfrac{\mu_1+\mu_2\,}{2\left(\mu_1+\mu_2+\mu_3\right)}\overrightarrow{PC}\\
\\
R=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\left(\lambda_1+\lambda_2\right)\left(\lambda_2+\lambda_3\right)\left(\lambda_1+\lambda_3\right)}{\mu_1+\mu_2+\mu_3}}
\end{gather*}
}
\end{gather*}

kuing

回复 14# 青青子衿

不知为啥，你这回帖之后，打开这帖时都得卡几秒 mathjax 的公式才编译完……

isee

回复 15# kuing

opera 秒开

应该不会是你电脑配置问题

kuing

回复 16# isee

帖子是秒进，我说的是公式编译时卡，就是由打开帖子到公式完全显示（要看到 14# 最后公式的框框为止）所用的时间。

今天好像比昨晚快了点，不过也要三四秒左右，实拍效果我给你发了个小视频……

isee

回复 17# kuing

一样一样，“大型”公式，显示是需要一点点时间，我这里也是。