有关组合数的同余问题

青青子衿

\begin{align*}
\sum\limits_{\substack{0\leqslant\,\!k\leqslant\,\!l\\k+l=n}}\left(-1\right)^l\binom{l}{k}=\begin{cases}
\phantom{+}1&&n\equiv0\pmod{3}\\
-1&&n\equiv1\pmod{3}\\
\phantom{+}0&&n\equiv2\pmod{3}
\end{cases}
\end{align*}

isee

回复 1# 青青子衿

都是$n\equiv 0\pmod{3}$ ？

青青子衿

回复 2# isee
emmmm，这几天心不在焉，老是敲错
（已经纠正）

kuing

想让 cases 第一列右对齐，可以用我自定义的 \led ... \endled，就不用手动加 \phantom 了。
... = \led
1 &&& n\equiv0\pmod3\\
-1 &&& n\equiv1\pmod3\\
0 &&& n\equiv2\pmod3
\endled
效果：
\[... = \led
1 &&& n\equiv0\pmod3\\
-1 &&& n\equiv1\pmod3\\
0 &&& n\equiv2\pmod3
\endled\]

tommywong

$\displaystyle a_n=\sum_{0\le k\le l\atop k+1=n}
(-1)^l\binom{l}{k}=\sum_{k=0}^\infty
(-1)^{n-k}\binom{n-k}{k}$

$a_{n+1}=-(a_n+a_{n-1}),a_{n+3}=a_n$