三道不等式

lemondian

（1）设正数$a,b,c$满足$a^2+b^2+c^2+2abc=1$，求证：$(a+b)^2+(b+c)^3+(c+a)^2\leqslant 3$;
（2）设正数$a,b,c$满足$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\geqslant a+b+c$，求证：$\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}\geqslant \dfrac{3abc}{ab+bc+ca}+2abc$.
（3）设正数$a,b,c$满足$ab+bc+ca=a+b+c$，求证：$\dfrac{a^2}{1+a+b^2}+\dfrac{b^2}{1+b+c^2}+\dfrac{c^2}{1+c+a^2}\geqslant 1$.

kuing

1 的第二项是 3 次？

lemondian

回复 2# kuing
原题确实如此

kuing

回复 3# lemondian

那应该是你的“上家”就已经打错。

全是平方的话，就是《撸题集》第 858 页题目 6.5.16。

kuing

第二题太弱太松弛了，简直随便乱放缩一通都不会过度
\begin{align*}
\LHS&\geqslant \frac 19\left( \frac 1a+\frac 1b+\frac 1c \right)^3\geqslant \frac 19\left( \frac 1a+\frac 1b+\frac 1c \right)(a+b+c)^2\geqslant a+b+c,\\
\RHS&\leqslant \frac {3abc}{ab+bc+ca}+\frac {2(ab+bc+ca)}{a+b+c}\leqslant a+b+c.
\end{align*}

lemondian

回复 4# kuing
就因为这个3,我特地看多两眼.
请问有反例说明是3时,不成立的吗?

kuing

回复 6# lemondian

全是平方时，除了等边取等外，还存在一个“潜在的取等”，如果你看出来了，你就知道 3 次的反例是什么了。

lemondian

回复 7# kuing
《撸题集》第 858 页题目 6.5.16，应该是看懂了，
就是无法搬到问题（1）来！不会证呀！
能不能写一个呢？@kuing
另外反例我也找到了。

爪机专用

回复 8# lemondian

我那个擦，换个元不就是了吗

lemondian

回复 9# 爪机专用

貌似证出来了,可8#的反例弄错了.
这个反例是什么呢?

kuing

唉，写少点都不行吗……
首先注意恒等式 `\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C+2\cos A\cos B\cos C=1`，所以都是平方的话就和《撸题集》里那题等价。
其次注意除了等边三角形取等外，等腰直角三角形也取等，虽然条件设置了不能取直角，但可以趋向它，这就是7#说的“潜在取等”，换成这里也就是 `a\to0,b,c\to1/\sqrt2`，所以如果中间那项是 3 次方的话，左边就更大了，那么这就是反例。

lemondian

回复 11# kuing
其实我当时是找到了$a=0,b=c=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，但不会用这种极限说法来说明。

kuing

第3题也是非常简单，柯西一下再利用条件就好了，这个就真的不写了……