数列的极限问题 找不到突破口

facebooker

设$a_1=1,a_{n+1}=a_n+\frac{1}{\sum_{k=1}^{n}a_k}$,求证：$\lim_{x\to \infty }\frac{a_n}{\sqrt{2\ln n}}=1$

kuing

把递推变一下形，不知有没有用
\begin{align*}
a_1+a_2+\cdots +a_n&=\frac 1{a_{n+1}-a_n},\\
a_1+a_2+\cdots +a_{n+1}&=\frac 1{a_{n+2}-a_{n+1}},
\end{align*}得
\[a_{n+1}=\frac 1{a_{n+2}-a_{n+1}}-\frac 1{a_{n+1}-a_n},\]把 `a_{n+2}` 弄出来就是
\[a_{n+2}=a_{n+1}+\frac 1{a_{n+1}+\frac 1{a_{n+1}-a_n}},\]很有趣的递推，但……怎么玩儿？两边平方？……先眯一会儿，待续……

Tesla35

Stolz?

facebooker

是的 只是知道要用Stolz 不会做

facebooker

回复 2# kuing

有人解答了 第三行就看不懂了。

青青子衿

回复 4# facebooker
参见周民强的《数学分析习题演练（第一册）》P74 例题  2.3.2