重金3000元征解三角形几何不等式

wanhuihua

tieba.baidu.com/p/6174595883

hbghlyj

一个悬偿问题 (华东交通大学 刘健)
问题 设 $P$ 为 $\triangle A B C$ 内部任意一点, 它到三个顶点与三边的距离分别为 $R_1, R_2, R_3$ 和 $r_1, r_2, r_3$, 又设 $\triangle A B C$ 的三个边长为 $a, b, c$, 三条中线长为 $m_a, m_b, m_c$, 外接圆半径为 $R$. 试证明或否定:
$$
\frac{R_1+R_2+R_3}{r_1+r_2+r_3} \geqslant \frac{4 R\left(m_a+m_b+m_c\right)}{a^2+b^2+c^2}
$$
注 1 在 $\triangle A B C$ 中易证
$$
2 R\left(m_a+m_b+m_c\right) \geqslant a^2+b^2+c^2
$$
因此上面的不等式是 Erdos-Mordell 不等式 $R_1+R_2+R_3 \geqslant 2\left(r_1+r_2+r_3\right)$ 的加强.
注 2 第一位正确解答者将获得作者提供的 3000 元奖金.

hbghlyj

Using $m_a \geq \frac{b^2+c^2}{4R}$ (aops), we have
\[m_a+m_b+m_c \geqslant \sum \frac{b^2+c^2}{4R} = \frac1{2R}(a^2+b^2+c^2).\]