四川预赛题数列

dahool

已知数列${a_n}$满足：$$a_n=[(2+\sqrt{5})^n+\frac{1}{2^n}]$$其中$[x]$表示不超过实数$x$的最大整数，设$C$为实数，且对任意的正整数$n$，都有$$\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_ia_{i+2}} \leqslant C$$则$C$的最小值是？

kuing

易证
\[a_n=\bigl(2+\sqrt5\bigr)^n+\bigl(2-\sqrt5\bigr)^n,\]从而由特征方程理论可知
\[a_{n+2}=4a_{n+1}+a_n,\]得到
\[\frac1{a_ia_{i+1}}=\frac4{a_ia_{i+2}}+\frac1{a_{i+1}a_{i+2}},\]然后，还没想出怎么进行下去，但先暂停一下……
因为突然感觉是不是题目下标打错了，事关如果是 `\sum\frac1{a_ia_{i+2}}` 那就可以裂项，严重怀疑ing……
哪年的竞赛题麻烦说一下，好查证……

dahool

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对不起，是打错了，你说的那个对，我改一下，2019年的预赛题

dahool

回复 2# kuing

想明白了，谢谢呀

facebooker

已知$a_0=1,a_1=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$,则$  \sum_{i=1}^{+\infty }\frac{1}{a_ia_{i+2}}=$

浙大自招  与今年的这道四川预赛题是不是惊人相似？