分式不等式

Shiki

非负实数$a,b,c$满足$a+b+c=3$
证明或否定：
$\sum \frac {a+b}{a+1} \geqslant 3$

kuing

齐次化可知原不等式等价于
\[\sum\frac{a+b}{4a+b+c}\geqslant1,\]由 CS 有
\[\sum\frac{a+b}{4a+b+c}\geqslant\frac{\bigl( \sum(a+b)(b+c) \bigr)^2}{\sum(a+b)(b+c)^2(4a+b+c)},\]故只需证
\[\left( \sum(a+b)(b+c) \right)^2\geqslant\sum(a+b)(b+c)^2(4a+b+c),\]展开化简后为
\[a^3b+b^3c+c^3a\geqslant abc(a+b+c),\]即
\[\frac{a^2}c+\frac{b^2}a+\frac{c^2}b\geqslant a+b+c,\]显然成立。

kuing

证法二：由轮换对称性，不妨设 `c=\min\{a,b,c\}`，同样是证
\[\sum\frac{a+b}{4a+b+c}\geqslant1,\]令 `4a+b+c=x`, `4b+c+a=y`, `4c+a+b=z`，则有 `2x+2y-z=9(a+b)` 等，于是不等式化为
\begin{gather*}
\sum\frac{2x+2y-z}{9x}\geqslant1,\\
\sum\frac{2y-z}x\geqslant3,\\
\sum\frac{y-z}x+\sum\frac yx-3\geqslant0,\\
\frac{(x-y)(x-z)(y-z)}{xyz}+\frac{(x-y)^2}{xy}+\frac{(x-z)(y-z)}{yz}\geqslant0,\\
z(x-y)^2+(2x-y)(x-z)(y-z)\geqslant0,
\end{gather*}由 `c=\min\{a,b,c\}` 知 `z=\min\{x,y,z\}`，故：

（1）若 `y\leqslant2x` 则不等式显然成立；

（2）当 `y>2x` 时，由均值有
\[(x-y)^2=(y-2x+x)^2\geqslant4x(y-2x),\]故只需证
\[4xz\geqslant(x-z)(y-z),\]这由 `x>x-z` 以及 `4z=4(4c+a+b)\geqslant4b+c+a=y>y-z` 可知成立。

综上，原不等式得证。

kuing

证法二虽然长点，但计算量少点，至少没有Bao力展开

另外，证法二其实还得出了一个副产品：

命题：设 `x`, `y`, `z>0` 且 `5\min\{x,y,z\}\geqslant\max\{x,y,z\}`，则有
\[x^2y+y^2z+z^2x-3xyz\geqslant(x-y)(y-z)(z-x).\]

kuing

回复 4# kuing

然而，我用软件测试时发现，这副产品中，条件的系数 `5` 并不是最佳的，它还可以再大，改为 `7` 也成立，但 `8` 就不成立，于是又可提出问题：那系数的最大值是多少？

Shiki

回复 4# kuing

请问证法一里用柯西带上$(b+c)^2$因子的动机是什么...貌似不加就会放过头，这个应该怎么找呢..

kuing

回复 6# Shiki

分母的 a 系数大，为了让分母“小”些，就这样搞了，并没思考太多，就试探一下而已，运气好就搞定了，证法二才是更稳更自然的方法。