看似简洁的不等式

kuing

回复 19# 其妙

第1个，令 `f(\lambda)=\text{左边}-\text{右边}`，下面证明关于 `\lambda` 递增，求导整理配方可得
\[f'(\lambda)=(2\lambda+3)\bigl((a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2\bigr)+(ab-1)^2+(bc-1)^2+(ca-1)^2\geqslant0,\]这样就可以直接扔掉这个 `\lambda` 了……

当然，没有 `\lambda` 的原题怎么证的我还没看到……

kuing

回复 21# kuing

有了，还不小心又得到了加强式，下面证明：当 `a`, `b`, `c\geqslant0` 时有
\[(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geqslant3(a+b+c)^2+(abc-1)^2+2\sum(ab-1)^2.\]

证明：由于 `a`, `b`, `c` 中必有两个同时 `\geqslant1` 或同时 `\leqslant1`，故可不妨设 `(a-1)(b-1)\geqslant0`，则
\[\text{左边}-\text{右边}=2c(a-1)(b-1)+(a-b)^2+(c-1)^2\geqslant0.\]

其妙

牛笔！厉害！

hbghlyj

其妙 发表于 2019-7-26 20:15
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