三元分式不等式

yao4015

$a,b,c$ 是正实数, 证明
$$\dfrac{1}{a(1+b)}+\dfrac{1}{b(1+c)}+\dfrac{1}{c(1+a)}\geq \dfrac{3}{1+abc}.$$

kuing

《撸题集》有收集在P1032有几个链接：

•$\frac1{a(1+b)}+\frac1{b(1+c)}+\frac1{c(1+a)}\geqslant \frac3{1+abc}$ 或 $\geqslant \frac3{\sqrt[3]{abc}(\sqrt[3]{abc}+1)}$ 经典均值等好多内容
artofproblemsolving.com/community/h308365
artofproblemsolving.com/community/h161059
artofproblemsolving.com/community/h6044

yao4015

回复 2# kuing

感谢 Kuing,  我正是想知道它的出处.  别人问的, 我就感觉见过, 果然.
我自己的证法是直接展开, 配个方.