含max$(3a-1)^2$分式不等式

tommywong

$a,b,c>0,~a+b+c=1$

證明 $\displaystyle \sum _{cyc}\frac {a^2}{1-a}\geq \frac{1}{2}(1+\max\{(3a-1)^2,(3b-1)^2,(3c-1)^2\})$

kuing

这题明显是用切线法出的，先计算出 a^2/(1-a) 的取等切线是 (5a-1)/4，然后作差配方再 CS 即可。

证明：不妨设 `\max\{(3a-1)^2,(3b-1)^2,(3c-1)^2\}=(3a-1)^2`，则
\begin{align*}
\sum\frac{a^2}{1-a}-\frac12&=\sum\left( \frac{a^2}{1-a}-\frac{5a-1}4 \right)\\
&=\sum\frac{(3a-1)^2}{4(1-a)}\\
&\geqslant\frac{(\abs{3a-1}+\abs{3b-1}+\abs{3c-1})^2}{4(1-a)+4(1-b)+4(1-c)}\\
&\geqslant\frac{(\abs{3a-1}+\abs{3b-1+3c-1})^2}{4(1-a)+4(1-b)+4(1-c)}\\
&=\frac{(\abs{3a-1}+\abs{1-3a})^2}8\\
&=\frac{(3a-1)^2}2.
\end{align*}即得证。

kuing

还可以仅对其中两项用 CS，如
\begin{align*}
\sum\frac{(3a-1)^2}{4(1-a)}
&\geqslant\frac{(3a-1)^2}{4(1-a)}+\frac{(3b-1+3c-1)^2}{4(1-b)+4(1-c)}\\
&=\frac{(3a-1)^2}{4(1-a)}+\frac{(1-3a)^2}{4(1+a)}\\
&=\frac{(3a-1)^2}{2(1-a^2)},
\end{align*}这样一来，就可以得出以下强加式
\[\sum\frac{a^2}{1-a}\geqslant\frac12\left(1+\max\left\{\frac{(3a-1)^2}{1-a^2},\frac{(3b-1)^2}{1-b^2},\frac{(3c-1)^2}{1-c^2}\right\}\right).\]

其妙

也来几道含max的不等式题目