關於三角形的不等式②

tommywong

證明 $\displaystyle \frac{9}{4}\frac{1}{\sum h_a}\ge
\sum\frac{1}{(\sqrt{r_b}+\sqrt{r_c})^2}\ge
\frac{3}{4}\frac{\sqrt{3}}{s}$

kuing

右边比较简单，先搞它。

易证 `r_ar_b+r_br_c+r_cr_a=s^2`，故由伊朗 96 不等式，有
\[\sum\frac1{\bigl(\sqrt{r_b}+\sqrt{r_c}\bigr)^2}\geqslant\frac9{4\bigl(\sqrt{r_ar_b}+\sqrt{r_br_c}+\sqrt{r_cr_a}\bigr)}\geqslant\frac{3\sqrt3}{4\sqrt{r_ar_b+r_br_c+r_cr_a}}=\frac{3\sqrt3}{4s};\]

kuing

先别说牛逼，左边我还证不出哩……`h_a` 虽然可以用 `r_b`, `r_c` 表示，但式子不像之前那样简洁，不好处理，先歇会