求经过三条平行直线的圆柱面

青青子衿

求经过三条平行直线\(\,l_1\,\),\(\,l_2\,\),\(\,l_3\,\)的圆柱面方程，
其中\(\,l_1\colon\dfrac{x-x_{\overset{\,}1}}{X}=\dfrac{y-y_{\overset{\,}1}}{Y}=\dfrac{z-z_{\overset{\,}1}}{Z}\,\),\(\quad\,l_2\colon\dfrac{x-x_{\overset{\,}2}}{X}=\dfrac{y-y_{\overset{\,}2}}{Y}=\dfrac{z-z_{\overset{\,}2}}{Z}\,\),\(\quad\,l_3\colon\dfrac{x-x_{\overset{\,}3}}{X}=\dfrac{y-y_{\overset{\,}3}}{Y}=\dfrac{z-z_{\overset{\,}3}}{Z}\,\).

tommywong

回复 1# 青青子衿

設$(x_0,y_0,z_0)$係條腺嘅其中一點,$(x_1,y_1,z_1)$係條砲嘅其中一點,$(X,Y,Z)$係條砲嘅方向

$\begin{cases}
\displaystyle x'=x_1+X\frac{X(x-x_1)+Y(y-y_1)+Z(z-z_1)}{X^2+Y^2+Z^2}\\
\displaystyle y'=y_1+Y\frac{X(x-x_1)+Y(y-y_1)+Z(z-z_1)}{X^2+Y^2+Z^2}\\
\displaystyle z'=z_1+Z\frac{X(x-x_1)+Y(y-y_1)+Z(z-z_1)}{X^2+Y^2+Z^2}\\
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2
=(x'-x_0)^2+(y'-y_0)^2+(z'-z_0)^2
\end{cases}$就係成條砲

例如$(x_0,y_0,z_0)=(0,0,0),(x_1,y_1,z_1)=(1,0,0),(X,Y,Z)=(0,0,1)$
$x'=1,y'=0,z'=z$
$x^2+y^2+z^2=1+z^2\Rightarrow x^2+y^2=1$就係一支垂直勃起嘅砲

問題係點樣用$(x_1,y_1,z_1)$,$(x_2,y_2,z_2)$,$(x_3,y_3,z_3)$砌到$(x_0,y_0,z_0)$

tommywong

$\displaystyle (x_{21},y_{21},z_{21})=(x_2,y_2,z_2)
+\frac{X(x_1-x_2)+Y(y_1-y_2)+Z(z_1-z_2)}{X^2+Y^2+Z^2}(X,Y,Z)$
$\displaystyle (x_{31},y_{31},z_{31})=(x_3,y_3,z_3)
+\frac{X(x_1-x_3)+Y(y_1-y_3)+Z(z_1-z_3)}{X^2+Y^2+Z^2}(X,Y,Z)$

$r_x=(x_1,x_{21},x_{31}),r_y=(y_1,y_{21},y_{31}),r_z=(z_1,z_{21},z_{31})$
$r=(x_1^2+y_1^2+z_1^2,x_{21}^2+y_{21}^2+z_{21}^2,x_{31}^2+y_{31}^2+z_{31}^2),H=(1,1,1)$
$x_0=\displaystyle \frac{1}{2}
\frac{2
\begin{vmatrix}H\\r_y\\r_z\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}r_x\\r_y\\r_z\end{vmatrix}
+\begin{vmatrix}r_x\\H\\r_z\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}r\\H\\r_z\end{vmatrix}
+\begin{vmatrix}r_x\\r_y\\H\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}r\\r_y\\H\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}H\\r_y\\r_z\end{vmatrix}^2
+\begin{vmatrix}r_x\\H\\r_z\end{vmatrix}^2
+\begin{vmatrix}r_x\\r_y\\H\end{vmatrix}^2},
y_0=\displaystyle \frac{1}{2}
\frac{
\begin{vmatrix}H\\r_y\\r_z\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}H\\r\\r_z\end{vmatrix}
+2\begin{vmatrix}r_x\\H\\r_z\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}r_x\\r_y\\r_z\end{vmatrix}
+\begin{vmatrix}r_x\\r_y\\H\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}r_x\\r\\H\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}H\\r_y\\r_z\end{vmatrix}^2
+\begin{vmatrix}r_x\\H\\r_z\end{vmatrix}^2
+\begin{vmatrix}r_x\\r_y\\H\end{vmatrix}^2},
z_0=\displaystyle \frac{1}{2}
\frac{
\begin{vmatrix}H\\r_y\\r_z\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}H\\r_y\\r\end{vmatrix}
+\begin{vmatrix}r_x\\H\\r_z\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}r_x\\H\\r\end{vmatrix}
+2\begin{vmatrix}r_x\\r_y\\H\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}r_x\\r_y\\r_z\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}H\\r_y\\r_z\end{vmatrix}^2
+\begin{vmatrix}r_x\\H\\r_z\end{vmatrix}^2
+\begin{vmatrix}r_x\\r_y\\H\end{vmatrix}^2}$

$\displaystyle (x',y',z')=(x_1,y_1,z_1)
+\frac{X(x-x_1)+Y(y-y_1)+Z(z-z_1)}{X^2+Y^2+Z^2}(X,Y,Z)$

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=(x'-x_0)^2+(y'-y_0)^2+(z'-z_0)^2$

1. clc;clear;
2. x1=1;y1=0;z1=0;
3. x2=-1;y2=0;z2=0;
4. x3=1;y3=1;z3=1;
5. X=1;Y=0;Z=1;
7. x21=x2+X*(X*(x1-x2)+Y*(y1-y2)+Z*(z1-z2))/(X^2+Y^2+Z^2);
8. y21=y2+Y*(X*(x1-x2)+Y*(y1-y2)+Z*(z1-z2))/(X^2+Y^2+Z^2);
9. z21=z2+Z*(X*(x1-x2)+Y*(y1-y2)+Z*(z1-z2))/(X^2+Y^2+Z^2);
10. x31=x3+X*(X*(x1-x3)+Y*(y1-y3)+Z*(z1-z3))/(X^2+Y^2+Z^2);
11. y31=y3+Y*(X*(x1-x3)+Y*(y1-y3)+Z*(z1-z3))/(X^2+Y^2+Z^2);
12. z31=z3+Z*(X*(x1-x3)+Y*(y1-y3)+Z*(z1-z3))/(X^2+Y^2+Z^2);
14. rx=[x1,x21,x31];ry=[y1,y21,y31];rz=[z1,z21,z31];
15. r=rx.^2+ry.^2+rz.^2;H=[1,1,1];
16. x0=(2*det([H;ry;rz])*det([rx;ry;rz])+...
17.     det([rx;H;rz])*det([r;H;rz])+...
18.     det([rx;ry;H])*det([r;ry;H]))/...
19.     (det([H;ry;rz])^2+det([rx;H;rz])^2+det([rx;ry;H])^2)/2;
20. y0=(det([H;ry;rz])*det([H;r;rz])+...
21.     2*det([rx;H;rz])*det([rx;ry;rz])+...
22.     det([rx;ry;H])*det([rx;r;H]))/...
23.     (det([H;ry;rz])^2+det([rx;H;rz])^2+det([rx;ry;H])^2)/2;
24. z0=(det([H;ry;rz])*det([H;ry;r])+...
25.     det([rx;H;rz])*det([rx;H;r])+...
26.     2*det([rx;ry;H])*det([rx;ry;rz]))/...
27.     (det([H;ry;rz])^2+det([rx;H;rz])^2+det([rx;ry;H])^2)/2;
29. syms x y z;
30. xt=x1+X*(X*(x-x1)+Y*(y-y1)+Z*(z-z1))/(X^2+Y^2+Z^2);
31. yt=y1+Y*(X*(x-x1)+Y*(y-y1)+Z*(z-z1))/(X^2+Y^2+Z^2);
32. zt=z1+Z*(X*(x-x1)+Y*(y-y1)+Z*(z-z1))/(X^2+Y^2+Z^2);
33. expand((x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2-(xt-x0)^2-(yt-y0)^2-(zt-z0)^2)

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代碼例子: $(x_1,y_1,z_1)=(1,0,0),(x_2,y_2,z_2)=(-1,0,0),(x_3,y_3,z_3)=(1,1,1),(X,Y,Z)=(1,0,1)$
輸出結果: $\displaystyle \frac{x^2}{2} - xz + y^2 - \frac{y}{2} + \frac{z}{2} - \frac{1}{2}$

wolframalpha圖

kuing

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「垂直勃起嘅砲」

青青子衿

回复 2# tommywong
我想了一个笨办法，借用二楼（作垂足）的方法可以得到原点关于三条平行直线上的垂足（一共三个点）。
明显，这三个垂足与原点共面。过这三个点可以作半径最小的球面，球面方程由如下链接中的帖子给出
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=6274
接着做该球面沿着三条直线方向向量的方向作外切柱面，即可得到结果。
球面沿着给定方向外切柱面的方程相对比较简单。
\[ \left(X^2+Y^2+Z^2\right)\left((x-x_{\overset{\,}0})^2+(y-y_{\overset{\,}0})^2+(z-z_{\overset{\,}0})^2-R^2\right)=\left(X\cdot(x-x_{\overset{\,}0})+Y\cdot(y-y_{\overset{\,}0})+Z\cdot(z-z_{\overset{\,}0})\right)^2 \]

\[ \begin{vmatrix}
x-x_{\overset{\,}0}&y-y_{\overset{\,}0}\\
X&Y\\
\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}
y-y_{\overset{\,}0}&z-z_{\overset{\,}0}\\
Y&Z\\
\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}
z-z_{\overset{\,}0}&x-x_{\overset{\,}0}\\
Z&X\\
\end{vmatrix}^2=\left(X^2+Y^2+Z^2\right)R^2 \]
...

2. (+(x^2 + Subscript[x, 0]^2) (Y^2 + Z^2)
3.   + (y^2 + Subscript[y, 0]^2) (X^2 + Z^2)
4.   + (z^2 + Subscript[z, 0]^2) (X^2 + Y^2)
5.   + (x*y + Subscript[x, 0] Subscript[y, 0]) (-2 X*Y)
6.   + (y*z + Subscript[y, 0] Subscript[z, 0]) (-2 Y*Z)
7.   + (x*z + Subscript[x, 0] Subscript[z, 0]) (-2 X*Z)
8.   + x*(-2 ((X^2 + Y^2 + Z^2) Subscript[x, 0] -
9.        X*(X*Subscript[x, 0] + Y*Subscript[y, 0] + Z*Subscript[z, 0])))
10.   + y*(-2 ((X^2 + Y^2 + Z^2) Subscript[y, 0] -
11.        Y*(X*Subscript[x, 0] + Y*Subscript[y, 0] + Z*Subscript[z, 0])))
12.   + z*(-2 ((X^2 + Y^2 + Z^2) Subscript[z, 0] -
13.        Z*(X*Subscript[x, 0] + Y*Subscript[y, 0] + Z*Subscript[z, 0])))
14.   - R^2 (X^2 + Y^2 + Z^2)) // Expand

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...

青青子衿

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给定三点\(\,P_{\overset{\,}1}(x_{\overset{\,}1},y_{\overset{\,}1},z_{\overset{\,}1})\,\)、\(\,P_{\overset{\,}2}(x_{\overset{\,}2},y_{\overset{\,}2},z_{\overset{\,}2})\,\)、\(\,P_{\overset{\,}3}(x_{\overset{\,}3},y_{\overset{\,}3},z_{\overset{\,}3})\,\)
三点所确定的平面法向量为\(\,\boldsymbol{n}=\{X,Y,Z\}\,\)
过此三点\(\,P_{\overset{\,}1}\,\)、\(\,P_{\overset{\,}2}\,\)、\(\,P_{\overset{\,}3}\,\)且以此三点所确定平面法向量\(\,\boldsymbol{n}\,\)为旋转轴方向向量的圆柱面
\[ \large{\color{black}{F(x,y,z)=\Big(G(x,y,z)\Big)^2}\,} \]

\begin{align*}
F(x,y,z)&\triangleq
\begin{vmatrix}   
\begin{vmatrix}   
\scriptsize{\color{red}{x^2+y^2+z^2}}&{\color{blue}y}&{\color{blue}z}&1\\   
\scriptsize{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}&y_1&z_1&1\\   
\scriptsize{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}&y_2&z_2&1\\   
\scriptsize{{x_3}^2+{y_3}^2+{z_3}^2}&y_3&z_3&1   
\end{vmatrix}&   
\begin{vmatrix}   
{\color{blue}x}&\scriptsize{\color{red}{x^2+y^2+z^2}}&{\color{blue}z}&1\\   
x_1&\scriptsize{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}&z_1&1\\   
x_2&\scriptsize{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}&z_2&1\\   
x_3&\scriptsize{{x_3}^2+{y_3}^2+{z_3}^2}&z_3&1   
\end{vmatrix}  
&\begin{vmatrix}   
{\color{blue}x}&{\color{blue}y}&\scriptsize{\color{red}{x^2+y^2+z^2}}&1\\   
x_1&y_1&\scriptsize{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}&1\\   
x_2&y_2&\scriptsize{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}&1\\   
x_3&y_3&\scriptsize{{x_3}^2+{y_3}^2+{z_3}^2}&1   
\end{vmatrix}  
&  
{\color{red}2}\begin{vmatrix}   
{\color{blue}x}&{\color{blue}y}&{\color{blue}z}&1\\   
x_1&y_1&z_1&1\\   
x_2&y_2&z_2&1\\   
x_3&y_3&z_3&1   
\end{vmatrix}  
\\   
x_1&y_1&z_1&1\\   
x_2&y_2&z_2&1\\   
x_3&y_3&z_3&1   
\end{vmatrix}\\
\\
G(x,y,z)&\triangleq
\begin{vmatrix}     
{\color{blue}x}&{\color{blue}y}&{\color{blue}z}&1\\     
x_1&y_1&z_1&1\\     
x_2&y_2&z_2&1\\     
x_3&y_3&z_3&1   
\end{vmatrix}
\end{align*}

青青子衿

青青子衿 发表于 2019-7-13 21:30
求经过三条平行直线\(\,l_1\,\),\(\,l_2\,\),\(\,l_3\,\)的圆柱面方程，其中
\(\quad\,l_1\colon\dfrac{x-x_{\overset{\,}1}}{X}=\dfrac{y-y_{\overset{\,}1}}{Y}=\dfrac{z-z_{\overset{\,}1}}{Z}\,\),
\(\quad\,l_2\colon\dfrac{x-x_{\overset{\,}2}}{X}=\dfrac{y-y_{\overset{\,}2}}{Y}=\dfrac{z-z_{\overset{\,}2}}{Z}\,\),
\(\quad\,l_3\colon\dfrac{x-x_{\overset{\,}3}}{X}=\dfrac{y-y_{\overset{\,}3}}{Y}=\dfrac{z-z_{\overset{\,}3}}{Z}\,\).

\begin{align*}
\color{black}{\begin{vmatrix}
1 & X^2+Y^2+Z^2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
x^2+y^2+z^2 & (x X+y Y+z Z)^2 & x & y & z & 1 \\
x_1^2+y_1^2+z_1^2 & \left(x_1 X+y_1 Y+z_1 Z\right){}^2 & x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\
x_2^2+y_2^2+z_2^2 & \left(x_2 X+y_2 Y+z_2 Z\right){}^2 & x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\
x_3^2+y_3^2+z_3^2 & \left(x_3 X+y_3 Y+z_3 Z\right){}^2 & x_3 & y_3 & z_3 & 1 \\
0 & 0 & X & Y & Z & 0 \\
\end{vmatrix}=0}
\end{align*}

kuing

我想到一个旋转的方法。

问题：三条平行直线分别经过点 `A_i(x_i,y_i,z_i)`（`i=1`, `2`, `3`）且方向向量为 `\bm n=(X,Y,Z)`，求经过这三条平行直线的圆柱面方程。

解：设圆柱面上的某点为 `P(x,y,z)`，现在对圆柱作两次旋转，先绕 `z` 轴旋转，使 `\bm n` 变为 `\bigl(0,\sqrt{X^2+Y^2},Z\bigr)`，再绕 `x` 轴旋转，使之变为 `\bigl(0,0,\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}\bigr)`，此时圆柱就是「垂直勃起嘅砲」（借用一下 2# 的说法）。

（下面这段由于我对矩阵什么的不是很熟，表述可能有错漏，但大体意思上应该没问题）
旋转就是乘矩阵，两次旋转对应的矩阵分别为
\[
\begin{pmatrix}
\dfrac Y{\sqrt{X^2+Y^2}} & \dfrac X{\sqrt{X^2+Y^2}} & 0 \\
-\dfrac X{\sqrt{X^2+Y^2}} & \dfrac Y{\sqrt{X^2+Y^2}} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
,\quad
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \dfrac Z{\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}} & \dfrac{\sqrt{X^2+Y^2}}{\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}} \\
0 & -\dfrac{\sqrt{X^2+Y^2}}{\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}} & \dfrac Z{\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}}
\end{pmatrix},
\]
那么圆柱上的 `P(x,y,z)` 经过旋转过后变成点 `P'(x',y',z')`，就有
\[(x',y',z')=(x,y,z)\cdot\begin{pmatrix}
\dfrac Y{\sqrt{X^2+Y^2}} & \dfrac X{\sqrt{X^2+Y^2}} & 0 \\
-\dfrac X{\sqrt{X^2+Y^2}} & \dfrac Y{\sqrt{X^2+Y^2}} & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \dfrac Z{\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}} & \dfrac{\sqrt{X^2+Y^2}}{\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}} \\
0 & -\dfrac{\sqrt{X^2+Y^2}}{\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}} & \dfrac Z{\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}}
\end{pmatrix},\]
化简得
\[
(x',y',z')=
\left(\frac{xY-Xy}{\sqrt{X^2+Y^2}},
\frac{Z(xX+yY)-z(X^2+Y^2)}{\sqrt{(X^2+Y^2)(X^2+Y^2+Z^2)}},
\frac{xX+yY+zZ}{\sqrt{X^2+Y^2+Z^2}}\right),
\]
同理，已知的三点 `A_i`（`i=1`, `2`, `3`）旋转后也是类似结果（就是加相应的下标），而由于圆柱已竖直，那么旋转后的四点在平面 `xOy` 上的投影将会共圆，根据四点共圆的那个行列式公式，即
\[
\begin{vmatrix}
x'^2+y'^2 & x' & y' & 1 \\
x_1'^2+y_1'^2 & x_1' & y_1' & 1 \\
x_2'^2+y_2'^2 & x_2' & y_2' & 1 \\
x_3'^2+y_3'^2 & x_3' & y_3' & 1
\end{vmatrix}
=0,
\]
代入上面的结果，就是
\[
\begin{vmatrix}
\left(\dfrac{xY-Xy}{\sqrt{X^2+Y^2}}\right)^2
+\left(\dfrac{Z(xX+yY)-z(X^2+Y^2)}{\sqrt{(X^2+Y^2)(X^2+Y^2+Z^2)}}\right)^2 & \dfrac{xY-Xy}{\sqrt{X^2+Y^2}} & \dfrac{Z(xX+yY)-z(X^2+Y^2)}{\sqrt{(X^2+Y^2)(X^2+Y^2+Z^2)}} & 1 \\
\left(\dfrac{x_1Y-Xy_1}{\sqrt{X^2+Y^2}}\right)^2
+\left(\dfrac{Z(x_1X+y_1Y)-z_1(X^2+Y^2)}{\sqrt{(X^2+Y^2)(X^2+Y^2+Z^2)}}\right)^2 & \dfrac{x_1Y-Xy_1}{\sqrt{X^2+Y^2}} & \dfrac{Z(x_1X+y_1Y)-z_1(X^2+Y^2)}{\sqrt{(X^2+Y^2)(X^2+Y^2+Z^2)}} & 1 \\
\left(\dfrac{x_2Y-Xy_2}{\sqrt{X^2+Y^2}}\right)^2
+\left(\dfrac{Z(x_2X+y_2Y)-z_2(X^2+Y^2)}{\sqrt{(X^2+Y^2)(X^2+Y^2+Z^2)}}\right)^2 & \dfrac{x_2Y-Xy_2}{\sqrt{X^2+Y^2}} & \dfrac{Z(x_2X+y_2Y)-z_2(X^2+Y^2)}{\sqrt{(X^2+Y^2)(X^2+Y^2+Z^2)}} & 1 \\
\left(\dfrac{x_3Y-Xy_3}{\sqrt{X^2+Y^2}}\right)^2
+\left(\dfrac{Z(x_3X+y_3Y)-z_3(X^2+Y^2)}{\sqrt{(X^2+Y^2)(X^2+Y^2+Z^2)}}\right)^2 & \dfrac{x_3Y-Xy_3}{\sqrt{X^2+Y^2}} & \dfrac{Z(x_3X+y_3Y)-z_3(X^2+Y^2)}{\sqrt{(X^2+Y^2)(X^2+Y^2+Z^2)}} & 1
\end{vmatrix}
=0,
\]
这就是所求的圆柱面方程，下面化简一下，同一列里相同的分母可以约掉，而第一列经计算发现有恒等式
\begin{align*}
&\left(\frac{xY-Xy}{\sqrt{X^2+Y^2}}\right)^2
+\left(\frac{Z(xX+yY)-z(X^2+Y^2)}{\sqrt{(X^2+Y^2)(X^2+Y^2+Z^2)}}\right)^2\\
={}&\frac{(xY-Xy)^2+(yZ-Yz)^2+(zX-Zx)^2}{X^2+Y^2+Z^2},
\end{align*}
（又可以写成和式了）
于是上述行列式化简为
\[
\begin{vmatrix}
\sum(xY-Xy)^2 & xY-Xy & Z(xX+yY)-z(X^2+Y^2) & 1 \\
\sum(x_1Y-Xy_1)^2 & x_1Y-Xy_1 & Z(x_1X+y_1Y)-z_1(X^2+Y^2) & 1 \\
\sum(x_2Y-Xy_2)^2 & x_2Y-Xy_2 & Z(x_2X+y_2Y)-z_2(X^2+Y^2) & 1 \\
\sum(x_3Y-Xy_3)^2 & x_3Y-Xy_3 & Z(x_3X+y_3Y)-z_3(X^2+Y^2) & 1
\end{vmatrix}
=0,
\]
但不知如何继续化简才能化到楼上这么神奇的行列式呢？

待续……🤔

kuing

kuing 发表于 2022-8-21 23:25
我想到一个旋转的方法。

问题：三条平行直线分别经过点 `A_i(x_i,y_i,z_i)`（`i=1`, `2`, `3`）且方向向量 ...

用软件展开楼上最后的行列式，发现还可以提出 `(X^2+Y^2)`，剩下的就和 7# 的展开式一样，看来推导没错

但是仍然不知道怎么化简，至少应该想办法化简到完全对称呀emmm...

青青子衿

kuing 发表于 2022-8-21 23:25
\begin{align*}
\begin{vmatrix}
\sum(xY-Xy)^2 & xY-Xy & Z(xX+yY)-z(X^2+Y^2) & 1 \\
\sum(x_1Y-Xy_1)^2 & x_1Y-Xy_1 & Z(x_1X+y_1Y)-z_1(X^2+Y^2) & 1 \\
\sum(x_2Y-Xy_2)^2 & x_2Y-Xy_2 & Z(x_2X+y_2Y)-z_2(X^2+Y^2) & 1 \\
\sum(x_3Y-Xy_3)^2 & x_3Y-Xy_3 & Z(x_3X+y_3Y)-z_3(X^2+Y^2) & 1
\end{vmatrix}
=0
\end{align*}

化简出来一个如下的行列式：
\begin{align*}
\Delta
&=-\dfrac{1}{Z}\begin{vmatrix}
\sum(xY-Xy)^2 & xY-Xy & Z(xX+yY)-z(X^2+Y^2) & z&1 \\
\sum(x_1Y-Xy_1)^2 & x_1Y-Xy_1& Z(x_1X+y_1Y)-z_1(X^2+Y^2) & z_1 &1 \\
\sum(x_2Y-Xy_2)^2 & x_2Y-Xy_2 & Z(x_2X+y_2Y)-z_2(X^2+Y^2) & z_2 &1\\
\sum(x_3Y-Xy_3)^2 & x_3Y-Xy_3 & Z(x_3X+y_3Y)-z_3(X^2+Y^2) & z_3 &1\\
0&0&0&Z&0
\end{vmatrix}\\
\\
&=-\dfrac{1}{Z}\begin{vmatrix}
\sum(xY-Xy)^2 & xY-Xy & Z(xX+yY) & z&1 \\
\sum(x_1Y-Xy_1)^2 & x_1Y-Xy_1& Z(x_1X+y_1Y) & z_1 &1 \\
\sum(x_2Y-Xy_2)^2 & x_2Y-Xy_2 & Z(x_2X+y_2Y) & z_2 &1\\
\sum(x_3Y-Xy_3)^2 & x_3Y-Xy_3 & Z(x_3X+y_3Y) & z_3 &1\\
0&0&Z(X^2+Y^2)&Z&0
\end{vmatrix}\\
\\
&=-\begin{vmatrix}
\sum(xY-Xy)^2 & xY-Xy & xX+yY & z&1 \\
\sum(x_1Y-Xy_1)^2 & x_1Y-Xy_1& x_1X+y_1Y & z_1 &1 \\
\sum(x_2Y-Xy_2)^2 & x_2Y-Xy_2 & x_2X+y_2Y & z_2 &1\\
\sum(x_3Y-Xy_3)^2 & x_3Y-Xy_3 & x_3X+y_3Y & z_3 &1\\
0&0&X^2+Y^2&Z&0
\end{vmatrix}\\
\\
&=-\dfrac{1}{XY}\begin{vmatrix}
\sum(xY-Xy)^2 & xY^2-XYy & xX^2+yXY & z&1 \\
\sum(x_1Y-Xy_1)^2 & x_1Y^2-XYy_1& x_1X^2+y_1XY & z_1 &1 \\
\sum(x_2Y-Xy_2)^2 & x_2Y^2-XYy_2 & x_2X^2+y_2XY & z_2 &1\\
\sum(x_3Y-Xy_3)^2 & x_3Y^2-XYy_3 & x_3X^2+y_3XY & z_3 &1\\
0&0&X^3+XY^2&Z&0
\end{vmatrix}\\
\\
&=-\dfrac{1}{XY}\begin{vmatrix}
\sum(xY-Xy)^2 & x(X^2+Y^2) & xX^2+yXY & z&1 \\
\sum(x_1Y-Xy_1)^2 & x_1(X^2+Y^2)& x_1X^2+y_1XY & z_1 &1 \\
\sum(x_2Y-Xy_2)^2 & x_2(X^2+Y^2) & x_2X^2+y_2XY & z_2 &1\\
\sum(x_3Y-Xy_3)^2 & x_3(X^2+Y^2) & x_3X^2+y_3XY & z_3 &1\\
0&X(X^2+Y^2)&X^3+XY^2&Z&0
\end{vmatrix}\\
\\
&=-\dfrac{X^2+Y^2}{XY}\begin{vmatrix}
\sum(xY-Xy)^2 & x & xX^2+yXY & z&1 \\
\sum(x_1Y-Xy_1)^2 & x_1& x_1X^2+y_1XY & z_1 &1 \\
\sum(x_2Y-Xy_2)^2 & x_2 & x_2X^2+y_2XY & z_2 &1\\
\sum(x_3Y-Xy_3)^2 & x_3 & x_3X^2+y_3XY & z_3 &1\\
0&X&X^3+XY^2&Z&0
\end{vmatrix}\\
\\
&=-\dfrac{X^2+Y^2}{XY}\begin{vmatrix}
\sum(xY-Xy)^2 & x & yXY & z&1 \\
\sum(x_1Y-Xy_1)^2 & x_1& y_1XY & z_1 &1 \\
\sum(x_2Y-Xy_2)^2 & x_2 & y_2XY & z_2 &1\\
\sum(x_3Y-Xy_3)^2 & x_3 & y_3XY & z_3 &1\\
0&X&XY^2&Z&0
\end{vmatrix}\\
\\
&=-(X^2+Y^2)\begin{vmatrix}
\sum(xY-Xy)^2 & x & y & z&1 \\
\sum(x_1Y-Xy_1)^2 & x_1& y_1 & z_1 &1 \\
\sum(x_2Y-Xy_2)^2 & x_2 & y_2 & z_2 &1\\
\sum(x_3Y-Xy_3)^2 & x_3 & y_3 & z_3 &1\\
0&X&Y&Z&0
\end{vmatrix}\\
\end{align*}

kuing

青青子衿 发表于 2022-8-22 12:50
化简出来一个如下的行列式：
\begin{align*}
\Delta

好腻害

这样化出来的行列式，并不比 7# 差，漂亮且少一阶

青青子衿

kuing 发表于 2022-8-23 16:51
好腻害

这样化出来的行列式，并不比 7# 差，漂亮且少一阶 ...

如果这两个行列式都不用求和符号写的话，感觉7#的行列式会更“精炼”一点~

kuing

青青子衿 发表于 2022-8-23 16:57
如果这两个行列式都不用求和符号写的话，感觉7#的行列式会更“精炼”一点~ ...

10# 再化一下变成 7#：

注意到拉格朗日恒等式有
\[\sum (xY-Xy)^2=\sum x^2\sum X^2-\left( \sum xX \right)^2,\]
由此，再加边
\begin{align*}
&\begin{vmatrix}
\sum(xY-Xy)^2 & x & y & z&1 \\
\sum(x_1Y-Xy_1)^2 & x_1& y_1 & z_1 &1 \\
\sum(x_2Y-Xy_2)^2 & x_2 & y_2 & z_2 &1\\
\sum(x_3Y-Xy_3)^2 & x_3 & y_3 & z_3 &1\\
0&X&Y&Z&0
\end{vmatrix}\\
={}&\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\sum x^2 & \sum x^2\sum X^2-\left( \sum xX \right)^2 & x & y & z&1 \\
\sum x_1^2 & \sum x_1^2\sum X^2-\left( \sum x_1X \right)^2 & x_1& y_1 & z_1 &1 \\
\sum x_2^2 & \sum x_2^2\sum X^2-\left( \sum x_2X \right)^2 & x_2 & y_2 & z_2 &1\\
\sum x_3^2 & \sum x_3^2\sum X^2-\left( \sum x_3X \right)^2 & x_3 & y_3 & z_3 &1\\
0 &0&X&Y&Z&0
\end{vmatrix}\\
={}&\begin{vmatrix}
1 & -\sum X^2 & 0 & 0 & 0 & 0\\
\sum x^2 & -\left( \sum xX \right)^2 & x & y & z&1 \\
\sum x_1^2 & -\left( \sum x_1X \right)^2 & x_1& y_1 & z_1 &1 \\
\sum x_2^2 & -\left( \sum x_2X \right)^2 & x_2 & y_2 & z_2 &1\\
\sum x_3^2 & -\left( \sum x_3X \right)^2 & x_3 & y_3 & z_3 &1\\
0 &0&X&Y&Z&0
\end{vmatrix}.
\end{align*}