血狼王强势回归之不等式（3）

血狼王

若有正数$x,y,z$使得$xyz=1$，求证
$$\frac{1}{1+x^2+4xy}+\frac{1}{1+y^2+4yz}+\frac{1}{1+z^2+4zx}\geq \frac{1}{2}$$

kuing

令 `x=b/a`, `y=c/b`, `z=a/c`，则
\[\sum\frac1{1+x^2+4xy}=\sum\frac{a^2}{a^2+b^2+4ca}\geqslant\frac{(a+b+c)^2}{\sum(a^2+b^2+4ca)}=\frac12.\]