撸题集 P.585 题目 4.10.7 我那解法重写一下

kuing

今天减压群里又聊起《撸题集》P.585 题目 4.10.6 的 cosA/sinB+cosB/sinA=2 这道经典题，而书上的下一题是当时何版对此题的推广问题：

贴题者    hejoseph
题目出处    贴题者对上一题的改编

我当年的解法开头是这样的：

首先（1）那里笔误，“f(a,b,t)≡0”应为 ≡2，这是小问题，重点是下面的。

在后文的“注”当中，我说到：

注    在录入时一直没想明白当时第一步是怎么变过去的，有空得补充一下。还有就是其实直接分 t 的正负再用均值就行了，何必计算那个差呢？是为了不用多说取等条件？汗了，问以前的自己，还真没法答上。

当年懒，一说“有空XX”几乎就是不再看了，也不优化一下过程。

所以现在要做就是：补上开头的变形过程、扔掉多余的作差，重写过程。

解：由正弦定理及射影定理，有
\begin{align*}
\frac{\cos A}{\sin B}+\frac{\cos B}{\sin A}
&=\frac{c\cos A}{b\sin C}+\frac{c\cos B}{a\sin C}\\
&=\frac{b-a\cos C}{b\sin C}+\frac{a-b\cos C}{a\sin C}\\
&=\frac2{\sin C}-\left( \frac ab+\frac ba \right)\frac{\cos C}{\sin C},
\end{align*}因为 `a/b+b/a` 的范围是 `[2,+\infty)`，而当 `a/b+b/a=2` 时原式正好可以用半角公式化简为 `2\tan(C/2)`，所以原式的取值范围为
\[\led
&\{2\},&& C=90\du,\\
&\left(-\infty,2\tan\frac C2\right],&& C<90\du,\\
&\left[2\tan\frac C2,+\infty\right),&& C>90\du.
\endled\]

呐，这样写的过程跟书上比显然好多了吧。
同时也更加显然地看出：当 `C` 为锐角时原式 `<2`，当 `C` 为钝角时原式 `>2`。

isee

想起来了，因为是分类的结果，良好的~