问一道射影几何背景的题的出处和初等解法。

abababa

四边形$ABCD$中，$AB, DC$交于$M$，$BC, AD$交于$N$，$AC, MN$交于$P$，$BD \sslash MN$，求证$P$为$MN$中点。

这个题用射影几何方法来解很简单，可能是初中数学竞赛的题，想知道具体是哪一届的，以及标准答案里初等方法的解答。

isee

回复 1# abababa


就是梯形下的中点，说这么麻烦。(图中左下角是点N)





印象里是第一届高中数学奥林匹克，出自。

初等证明方法很多，最典型的是相似，或者三角（张角定理）。


标答如何忘记了，我给一种不添辅助线的方法吧，如下：

记$DB$与$AC$的交点为$P'$

\begin{align*}
\frac{NP}{PM}&=\frac{NP}{P'B}\cdot\frac{P'B}{DP'}\cdot\frac{DP'}{PM}\\
&=\frac{PC}{P'C}\cdot \frac{PM}{NP}\cdot\frac{P'C}{CP}\\
&=\frac{PM}{NP}\\
\Rightarrow \frac{NP}{PM}&=1
\end{align*}

isee

自行搜索 《走向国际数学奥林匹克的平面几何试题诠释：历届全国高中数学联赛平面几何试题一题多解(上)》.沈文选 PDF
正文第一页

abababa

回复 3# isee

谢谢，原来是第一届高中联赛，我还以为是初中的呢。