黑板数字操作问题征解

其妙

初中数学竞赛题吧？主要是要抓住不变量解题

hbghlyj

回复 21# 其妙
难度不等。(12)13#是高联组合难度，我还没得出完整解答，恳请您做一下

hbghlyj

(24)设正整数m，$N=m^{2017}+1$.将$N,N-m,N-2m \cdots m+1,1$依次从左到右写在黑板上，每次操作定义为删掉最左边的数，同时删掉它的全部正因子。求最后删掉的数。

hbghlyj

(24)最后删掉的数为$a=\frac{m^{2017}+1}{m+1}+m$
因为$2a,3a,\cdots,ma$模m均不余1，所以，在a作为最左边的数之前，a不能作为因数被删掉。对任何b<a,若b在黑板上,那么(m+1)b也在黑板上，设k为最大的正整数,使得$(km+1)b\leq N$,则由(m+1)(a-m)=N得(km+m+1)b>N=(m+1)(a-m),则易计算得(km+1)b>a,从而在a被删去前,(km+1)b先被删去,也就有b被删去,所以a是最后被删去的数

hbghlyj

(25)设正整数$n\geq3$,黑板上有n个自然数围成一圈,甲每次操作在所有相邻两数之间写上它们差的绝对值,这样共写下n个数,并擦去原先的n个数,重复进行此操作直到n个数全为0为止,
Ⅰ对于给定的n,这个操作是否总会终止？
Ⅱ对于任意大的N,乙是否总能选取一组正整数作为初始值,使甲操作会终止,且总操作次数大于N?

hbghlyj

(25)Ⅰn=4时有待研究
n>4时,总存在操作永不会终止的一组数,下面是1和0构成的n(n-2)循环(如果通过轮换得到就认为等价，下面的是不是唯一的循环？ )
1 1 0 ... 0 0 0
0 1 0 ... 0 0 1
1 1 0 ... 0 1 1
0 1 0 ... 1 0 0
... ...
0 1 1 ... 0 0 0
每次操作那个斜体1就会前移1位,共经过n-2次操作,得到与初始值轮换的一组数,轮换n次就还原了,所以每n(n-2)次操作循环
Ⅱn=4时
从全为0的情形可以逆推到无穷(按逆序排的)
$x_1 x_2 x_3 x_4$
0 0 0 0
16 16 16 16
16 0 16 32
0 16 16 32
8 8 24 40
8 16 24 48
8 16 32 56
12 20 36 68
12 24 44 80
16 28 52 96
18 34 62 114
22 40 74 136
26 48 88 162
31 57 105 193
37 68 125 230
44 81 149 274
... ...
从第4行(第3次逆推)开始,每次用$\frac{x_3-x_1}2=y_1,y_1+x_1=y_2,y_2+x_2=y_3,y_3+x_3=y_4$
而15次逆推后149-44=105不是偶数,就整体乘以2,下一行继续写
105 193 355 653
显然每次操作后都有$x_3\geq x_1$，用这种方法就可以无穷写下去
n=4解决。n>4时有待研究

hbghlyj

连找了几个初始值循环长度都是63，猜测只有这一种循环？