立几：四面体欧拉不等式

hbghlyj

设四面体外接球和内切球球心为分别为O(外接球半径为R)和I(内切球半径为r),证明：OI²≤R²-9r².
原网页R≥3r

hejoseph

不熟悉四面体的不等式，提供一个结论：
设四面体 $ABCD$ 的体积是 $V$，点 $A$、$B$、$C$、$D$ 所对的面的面积分别是 $S_A$、$S_B$、$S_C$、$S_D$，外接球 $O$ 半径是 $R$，内切球 $I$ 半径是 $r$，$AB=a$，$AC=b$，$AD=c$，$CD=a'$，$BD=b'$，$BC=c'$，则
\[
OI^2=R^2-\frac{a^2S_AS_B+b^2S_AS_C+c^2S_AS_D+a'^2S_CS_D+b'^2S_BS_D+c'^2S_BS_C}{9V^2}r^2
\]

hejoseph

你这个结论应该是错误的。

在四面体 $ABCD$ 中，$a=4$，$b=5$，$c=6$，$a'=5$，$b'=4$，$c'=3$，则
\begin{align*}
&S_A=6，S_B=12，S_C=3\sqrt 7，S_D=6，\\
&V=3\sqrt 7，R=\frac{\sqrt{2233}}{14}，r=\frac{8 \sqrt{7}-7}{19}，\\
&OI^2=\frac{667727-91168 \sqrt{7}}{90972}\approx 4.6884661706114343429，\\
&R^2-3Rr=\frac{6061-336 \sqrt{319}+42 \sqrt{2233}}{532}\approx 3.8431250855078237591。
\end{align*}

青青子衿

回复 2# hejoseph
这个表达式好漂亮

bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=16924

其妙

还以为楼主的是欧拉公式的推广，以为又开了眼界呢

hbghlyj

回复 3# hejoseph
感谢指正。这样修正后的验证无误：

hbghlyj

万一还不成立,我再拉两个进来(目前验证无误)：
$OI^3≤R^3-3R^2r$
$OI^2≤R^2-3\sqrt[4]{3}{R^{\frac{3}{4}}}{r^{\frac{5}{4}}}$

hejoseph

《四面体不等式》一书的第52页有 $R^2\geqslant 9r^2+OI^2$ 这个不等式的证明。

hejoseph

直接用 $OI$ 长度的表达式和已知的不等式
\begin{align*}
&aa'bb'cc'\geqslant 72V^2\\
&S_AS_BS_CS_D\geqslant \frac{81\times 9^{1/3}}{16}\cdot V^{8/3}
\end{align*}
由平均值不等式，得
\[
a^2S_AS_B+b^2S_AS_C+c^2S_AS_D+a'^2S_CS_D+b'^2S_BS_D+c'^2S_BS_C\geqslant 6\sqrt[6]{(aa'bb'cc')^2\cdot\left(S_AS_BS_CS_D\right)^3}\geqslant 81V^2
\]