一个关于圆的几何轨迹问题？

hbghlyj

圆C上一点A 圆外一点D 直线L上有点B在运动 A’为A关于BC之对称点 作△A’DF∽△ACB 求证：点B在直线L上运动时 点F轨迹为一直线

kuing

圆是多余嘀，纯几何解法留给 isee 等，我来玩玩复数法。不妨设 `C` 为原点，用 `z_A` 表示 `A` 点对应的复数。

由对称得
\[z_{A'}=\overline{z_A}\cdot\frac{z_B}{\,\overline{z_B}\,},\]由相似得
\[\frac{z_F-z_D}{z_{A'}-z_D}=\frac{z_B}{z_{A'}},\]解得
\[z_F=z_D+z_B-\frac{z_B}{z_{A'}}z_D=z_D+z_B-\frac{z_D}{\,\overline{z_A}\,}\overline{z_B},\]而 `A`, `D` 为定点，`B` 在直线上，故上式可见结论成立。