蚶线

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蚶线,又称蜗线,帕斯卡蜗线
蚶線是外次擺線
心脏线
心臟線是蚶線的一種特殊情形， 而心臟線是一外擺線， 外擺線又是外次擺線 (epitrochoid) 的特殊情形， 我們很自然會將蚶線與外次擺線聯想在一起。

圖三

設 P 點是以圓 O 為基圓、點 A 為基點、k 為常數的蚶線上一點， 直線 AP 與基圓交於另一點 M。 選取 I 點使得 PMOI 是一個平行四邊形， 請注意:對每個 P 點而言，點 I 是唯一的。 分別以點 O 與點 I 為圓心、$\frac{1}{2k}$ 為半徑作兩圓， 前者稱為固定圓、後者稱為滾動圓。因為 $\overline{OI} = \overline{MP} = k$，所以，固定圓與滾動圓外切， 設切點為 Q。設射線 $\overrightarrow{AO}$ 與固定圓交於 U 且 A 與 U 在 O 的異側、射線 $\overrightarrow{PI}$ 與滾動圓交於 V 且 P 與 V 在 I 的異側， 則可得 $\angle QIV = \angle API = \angle AMO = \angle MAO = \angle QOU$。 因為固定圓與滾動圓的半徑相等， 而固定圓的圓心角 $\angle QOU$ 與滾動圓的圓心角 $\angle QIV$ 相等， 所以，固定圓上弧 QU 的長與滾動圓上弧 QV 的長相等。 這樣的現象表示什麼意義呢？我們說明如下。

取一個半徑為 $\frac{1}{2k}$ 的固定圓， 另取一個大小與固定圓相同的滾動圓， 讓滾動圓沿著固定圓的外部作沒有滑動的滾動， 此外,還選定一個與滾動圓圓心距離為 a的定點， 在滾動前，定點與固定圓圓心O的距離為 a+k。 亦即:定點、固定圓圓心、滾動圓圓心等三點共線， 且滾動圓圓心介於其他兩點之間。圖三表示: 當滾動圓滾動到與固定圓相切於Q點時， 滾動圓旁的定點就到達P點。 由此可知：所謂蚶線，乃是當滾動圓與固定圓的半徑相等時， 滾動圓旁的定點所描繪的曲線，這乃是一外次擺線。

若在圖三中建立一個直角坐標系，使O點為原點、 直線 AB 為 X 軸，則可得蚶線的參數方程式如下： 設以 $\overrightarrow{OB}$ 為始邊、 $\overrightarrow{OI}$ 為終邊的有向角 t 弧度， 則以 $\overrightarrow{OB}$ 為始邊、 $\overrightarrow{OM}$ 為終邊的有向角為 2t 弧度。 又設 P 點的坐標為 (x,y)，則得

\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
x & = & k \cos t + a \cos 2t \\
y&=&k\sin t + a \sin 2t \qquad 0 \leq t \leq 2 \pi
\end{array}\right.
\]

習題:
試討論前述蚶線的極坐標方程式與參數方程式的關係。

双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$关于以(c,0)为中心,r为半径的圆的反演像为
$\frac{a^2 \left(-b^2 \left((c-x)^2+y^2\right)^2-r^4 y^2\right)}{b^2}+\left((c-x) \left(c^2-c x-r^2\right)+c y^2\right)^2=0$



菱形ABCD内切圆切线EF分别交BC,CD于E,F,切点为G,BE为定值,当点C绕D旋转时,求证:
(1)E的轨迹是圆
(2)M的轨迹是以AD为短轴,离心率为$\frac{\sqrt3}2$的椭圆
(3)F,L的轨迹是蚶线（间隔a=基圆半径h）
注：整个图形的大小一定时，变量只有BE

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A是定点,B在以O为圆心,r为半径的圆$c_1$上运动,C在以O为圆心,R为半径的圆$c_2$上运动,保持BC=定值k,求证△ABC的费马点的轨迹是一条自交点为A的广义蚶线.
当OC趋于∞时,广义蚶线就趋于真正的蚶线,这个可以等价于下面的命题:

以O为圆心作两个圆,A,B在小圆上,C,G在大圆上,OAC共线,AG=BC,∠BAC=120°,作等边△BCD.
以O为圆心,OD为半径作圆,交∠BAG的平分线于E,F.
圆BCD关于O旋转∠DOE和∠DOF得到的圆分别与AEF交于H,I.
K和L分别是小圆和大圆上的任意点,满足KL=AG.
作△AKL的费马点R,HI的中点J在AR上的投影为M.
C沿OA方向运动,当OC→∞时,JH的极限为u,RM的极限为v.(u,v都是有限的)
求证u=v.
等价的说法是,u的值与K,L的选取无关.

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关于「外擺線是外次擺線 (epitrochoid) 的特殊情形」这件事,放一些动图

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整理一下2#的广义蚶线的精确作图过程（不是用“轨迹”工具来作,而是更细致地作图）
A,B,D在圆O上,∠BAC=120°,BC=k,约定ABC转向为正.∠BAC平分线为m.
以O为圆心和OC>OA为半径作圆,
在圆上取E,G使DE=AG=k,且ADE,OAG的转向为正.
F是△ADE的费马点.
将直线AG旋转120°到n.
则F的轨迹为蚶线,自交点为A,在A的切线为m,n.

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A,B,D在单位圆上,∠BAC=120°,BC=k,约定ABC转向为正.等边△BCX,点A,X在BC的异侧.
以O为圆心和OC>OA为半径作圆,
在圆上取E,G使DE=AG=k,且ADE,OAG的转向为正.
F是△ADE的费马点.
将G关于A旋转-60°(角的符号,见上文“约定ABC转向为正”)到G′.
现计算切线与x轴的夹角:
设$\angle AOB=\alpha$,则$\angle XAO=\frac 56\pi-\frac{\alpha}2$.
设OC=R,则$\angle OAG’=\arccos{\frac{1+k^2-R^2}{2k}}$

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感谢GGB的自动备份
因为图比较复杂,GGB崩溃了好几次,但有自动备份,默认路径为
C:\Users\lenovo\AppData\Local\Temp
真好！

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做一些数值计算.
A=$\{1,0\}$
B=$\left\{\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$
C=$\{2,0\}$
D=$\left\{2,\sqrt{3}\right\}$
G=$\left\{1,-\sqrt{3}\right\}$
K=$\{\cos t,\sin t\}$
L=$\left\{2 \cos \left(t+\frac{\pi }{3}\right),2 \sin \left(t+\frac{\pi }{3}\right)\right\}$
E=$\left\{\frac{1}{4} \left(-\sqrt{3}-\sqrt{28 \sqrt{3}+55}+2\right),-\frac{1}{4} \left(2 \sqrt{28 \sqrt{3}+55}-\sqrt{3 \left(28 \sqrt{3}+55\right)}+1\right)\right\}$
F=$\left\{\frac{1}{4} \left(-\sqrt{3}+\sqrt{28 \sqrt{3}+55}+2\right),-\frac{1}{4} \left(-2 \sqrt{28 \sqrt{3}+55}+\sqrt{3 \left(28 \sqrt{3}+55\right)}+1\right)\right\}$
H=$\left\{\frac{1}{14} \left(-4 \sqrt{3}-\sqrt{28 \sqrt{3}+55}+7\right),\frac{1}{14} \left(-\sqrt{3}-\sqrt{49-24 \sqrt{3}}-2\right)\right\}$
I=$\left\{\frac{1}{14} \left(-4 \sqrt{3}+\sqrt{28 \sqrt{3}+55}+7\right),\frac{1}{14} \left(-\sqrt{3}+\sqrt{49-24 \sqrt{3}}-2\right)\right\}$
J=$\left\{\frac{1}{2}-\frac{2 \sqrt{3}}{7},\frac{1}{14} \left(-\sqrt{3}-2\right)\right\}$
R=$\left\{\frac{-6 \sqrt{3} \cos (2 t)+11 \sqrt{3} \cos (t)+3 \sin (t) (8 \cos (t)-3)+\sqrt{3}}{6 \sin (t)-10 \sqrt{3} \cos (t)+16 \sqrt{3}},-\frac{3 \left(3 \cos (t)-4 \cos (2 t)+\sqrt{3} \sin (t) (5-4 \cos (t))+1\right)}{2 \left(-3 \sin (t)+5 \sqrt{3} \cos (t)-8 \sqrt{3}\right)}\right\}$
M=$\left\{-\frac{\left(19 \sqrt{3}-108\right) \sin (2 t)+\left(29 \sqrt{3}+50\right) \sin (3 t)+3 \left(35-72 \sqrt{3}\right) \sin (t)+\left(4 \sqrt{3}+5\right) (-\cos (3 t))+\left(68 \sqrt{3}+87\right) \cos (2 t)+\left(254-143 \sqrt{3}\right) \cos (t)+4 \left(25 \sqrt{3}-96\right)}{28 \left(-18 \cos (t)+\cos (2 t)+2 \sqrt{3} \sin (t) (5-3 \cos (t))+20\right)},\frac{\left(4 \sqrt{3}+5\right) \sin (3 t)-\left(58 \sqrt{3}+99\right) \sin (2 t)+\left(49 \sqrt{3}+90\right) \sin (t)-\left(45 \sqrt{3}+74\right) \cos (2 t)+\left(4 \sqrt{3}+7\right) \cos (t)+\left(29 \sqrt{3}+50\right) \cos (3 t)-4}{28 \left(-18 \cos (t)+\cos (2 t)+2 \sqrt{3} \sin (t) (5-3 \cos (t))+20\right)}\right\}$
$RM^2=\left(\frac{3 \left(3 \cos (t)-4 \cos (2 t)+\sqrt{3} \sin (t) (5-4 \cos (t))+1\right)}{2 \left(-3 \sin (t)+5 \sqrt{3} \cos (t)-8 \sqrt{3}\right)}+\frac{\left(4 \sqrt{3}+5\right) \sin (3 t)-\left(58 \sqrt{3}+99\right) \sin (2 t)+\left(49 \sqrt{3}+90\right) \sin (t)-\left(45 \sqrt{3}+74\right) \cos (2 t)+\left(4 \sqrt{3}+7\right) \cos (t)+\left(29 \sqrt{3}+50\right) \cos (3 t)-4}{28 \left(-18 \cos (t)+\cos (2 t)+2 \sqrt{3} \sin (t) (5-3 \cos (t))+20\right)}\right)^2+\left(\frac{-6 \sqrt{3} \cos (2 t)+11 \sqrt{3} \cos (t)+3 \sin (t) (8 \cos (t)-3)+\sqrt{3}}{6 \sin (t)-10 \sqrt{3} \cos (t)+16 \sqrt{3}}+\frac{\left(19 \sqrt{3}-108\right) \sin (2 t)+\left(29 \sqrt{3}+50\right) \sin (3 t)+3 \left(35-72 \sqrt{3}\right) \sin (t)+\left(4 \sqrt{3}+5\right) (-\cos (3 t))+\left(68 \sqrt{3}+87\right) \cos (2 t)+\left(254-143 \sqrt{3}\right) \cos (t)+4 \left(25 \sqrt{3}-96\right)}{28 \left(-18 \cos (t)+\cos (2 t)+2 \sqrt{3} \sin (t) (5-3 \cos (t))+20\right)}\right)^2$
R的轨迹为$14 x^2 y^2+2 \sqrt{3} x^2 y+7 x^4-14 x^3+3 x^2-14 x y^2-2 \sqrt{3} x y+8 x+7 y^4-3 y^2+2 \sqrt{3} y^3-4=0$

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R的轨迹的自交点为A(1,0),把它向左平移1个单位到O,曲线平移到
$14 x^2 y^2+2 \sqrt{3} x^2 y+7 x^4+14 x^3+3 x^2+14 x y^2+2 \sqrt{3} x y+7 y^4-3 y^2+2 \sqrt{3} y^3=0$
它在O的切线斜率为$\sqrt 3$和$-\frac 1{\sqrt 3}$
它不是轴对称的曲线:我把它旋转使得O处的两切线关于x轴对称,然后发现这时的曲线不是关于x轴对称的

关于原点反演一下得到双曲线$3 x^2+2 \sqrt{3} x y+14 x-3 y^2+2 \sqrt{3} y+7=0$
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回复 8# hbghlyj
在"5268最终.ggb"中画出了这个双曲线,可以看到,A不在双曲线的轴线上.
于是有下面的定义:
双曲线关于轴线上一点的反演像是蚶线,关于任意一点的反演像是广义蚶线.

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O,A,C为平面上任意三点,OA<OC.
在圆(O,OA)上取点B使∠CAB=120°.
E在圆(O,OC)上,△BCD,△AEF是等边三角形,AE=BC.
P是圆(O,OA)上任一点.在圆(O,OC)上取点Q使PQ=BC.
△APQ的费马点R关于圆(A,AO)的反演点为R′.
过A作AF的垂线r.O在r上的投影为M.圆AEF交r于A,N.
过A作圆(O,OA)的切线m.过A作圆AEF的切线l.在m上任取点J.过J作AF的平行线与l交于K.在NM上取点S使NS/SM=(AJ/AK)*(NF/OA).
过S关于圆(A,AO)的反演点作AF的平行线b.
过A作DA的垂线f.O在f上的投影为W.在AW上取点X使AX/XW=(AY/AZ)*(NF/OA)/cos∠JAW.
过X关于圆(A,AO)的反演点作DA的平行线h.
求证:当P在圆(O,OA)上运动时,R′的轨迹是过A且渐近线为b,h的双曲线.
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