两点到三角形顶点的距离的不等式 等角共轭取等

hbghlyj

(1)P,Q是平面上任意两点,求证:
$\frac{AP \cdot AQ}{AB \cdot AC}+\frac{BP \cdot BQ}{BC \cdot BA}+\frac{CP \cdot CQ}{CA \cdot CB}≥1$,当且仅当P,Q等角共轭时取等
见《平面几何中的小花》81等角共轭点
forum.php?mod=viewthread&tid=3567&highlight=惯性矩不等式
(2)P是平面上任一点,求证:
$\frac{AP \cdot AP}{AB \cdot AC}+\frac{BP \cdot BP}{BC \cdot BA}+\frac{CP \cdot CP}{CA \cdot CB}≥1$,当且仅当P为主心时取等

kuing

复数法咯，见《撸题集》P.120 中间

hbghlyj

(1)恒等式$\sum {\frac{{\left(a-p\right)\left(a-q\right)}}{{\left(a - b\right)\left(a-c\right)}}}  = 1$
推广是Lagrange
(2)恒等式$\sum{\frac{{\left(a-p\right)^2}}{{\left(a - b\right)\left(a-c\right)}}}  = 1
即\sum {\frac{{b - c}}{{a -p}}}  = \prod {\frac{{b - c}}{{a - p}}} $
推广是广义Fibonacci
如果把(1)的分子拆开用广义Fibonacci能证明吗？

hbghlyj

回复 2# kuing
题(2)就是$U_{3,2}$
问题就是如何把$U_{4,3}$推广到这种形式：

hbghlyj

回复 2# kuing
复数法如何看出取等条件是等角共轭呢

hbghlyj

用托勒密也可证

hbghlyj

(1)bbs.emath.ac.cn/thread-18470-1-1.html